Question

在△ABC中，∠A=2∠B，AC=2.5，BC=4．D為射線BA上一點，D點到直線AC、BC的距離相等．則AD的長為

 

．

Answer 1

考點：角平分線的性質

專題：分類討論

分析：分D在線段AB上和D在線段BA的延長線上兩種情況，分別構造三角形全等，再結合等腰三角形的性質，可求得答案．

解答：解：當點D在線段AB上時，如圖1，

在CB上取點E，使CE=CA，
∵D到AC和BC的距離相等，
∴CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD，
在△ACD和△ECD中

CA=CE ∠ACD=∠ECD CD=CD

∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴CE=AC=2.5，AD=DE，∠A=∠CED=2∠B，
又∠CED=∠B+∠EDB，
∴∠B=∠EDB，
∴BE=ED，
∴AD=BE=BC-CE=4-2.5=1.5；
當點D不在線段AB上時，在圖1的基礎上，在射線BA上取點D′，連接CD′，在線段AD′上取點H，使AC=AH，

則∠CAB=2∠CHA=2∠B，
∴∠B=∠CHA，
∴CH=CB=4，且AD=1.5，
又CD′平分∠FCA，
∴∠D′CD=90°，
∵∠HCD=∠HCA+∠ACD=∠CHA+∠DCB=∠B+∠DCB=∠HDC，
∴HD=HC=4
∵∠HDC+∠HD′C=90°，
∴∠HD′C=∠HCD′，
∴HD′=HC=4，
∴AD′=AH+HD′=2.5+4=6.5，
綜上可知AD的長為1.5或6.5，
故答案為：1.5或6.5．

點評：本題主要考查角平分線的判定和全等三角形的判定和性質，掌握到角兩邊的距離的點在角的平分線上是解題的關鍵，注意分類討論．