【題目】已知如圖平面直角坐標(biāo)系中,點O是坐標(biāo)原點,矩形ABCO是頂點坐標(biāo)分別為A(3,0)、B(3,4)、C(0,4).點D在y軸上,且點D的坐標(biāo)為(0,﹣5),點P是直線AC上的一動點.
(1)當(dāng)點P運動到線段AC的中點時,求直線DP的解析式(關(guān)系式);
(2)當(dāng)點P沿直線AC移動時,過點D、P的直線與x軸交于點M.問在x軸的正半軸上是否存在使△DOM與△ABC相似的點M?若存在,請求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)當(dāng)點P沿直線AC移動時,以點P為圓心、R(R>0)為半徑長畫圓.得到的圓稱為動圓P.若設(shè)動圓P的半徑長為,過點D作動圓P的兩條切線與動圓P分別相切于點E、F.請?zhí)角笤趧訄AP中是否存在面積最小的四邊形DEPF?若存在,請求出最小面積S的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x﹣5;(2)若△DOM與△CBA相似,則點M的坐標(biāo)為(,0)或(,0);(3)
【解析】
試題(1)只需先求出AC中點P的坐標(biāo),然后用待定系數(shù)法即可求出直線DP的解析式.
(2)由于△DOM與△ABC相似,對應(yīng)關(guān)系不確定,可分兩種情況進(jìn)行討論,利用三角形相似求出OM的長,即可求出點M的坐標(biāo).
(3)易證S△PED=S△PFD.從而有S四邊形DEPF=2S△PED=DE.由∠DEP=90°得DE2=DP2﹣PE2=DP2﹣.根據(jù)“點到直線之間,垂線段最短”可得:當(dāng)DP⊥AC時,DP最短,此時DE也最短,對應(yīng)的四邊形DEPF的面積最。柚谌切蜗嗨疲纯汕蟪DP⊥AC時DP的值,就可求出四邊形DEPF面積的最小值.
解:(1)過點P作PH∥OA,交OC于點H,如圖1所示.
∵PH∥OA,
∴△CHP∽△COA.
∴==.
∵點P是AC中點,
∴CP=CA.
∴HP=OA,CH=CO.
∵A(3,0)、C(0,4),
∴OA=3,OC=4.
∴HP=,CH=2.
∴OH=2.
∵PH∥OA,∠COA=90°,
∴∠CHP=∠COA=90°.
∴點P的坐標(biāo)為(,2).
設(shè)直線DP的解析式為y=kx+b,
∵D(0,﹣5),P(,2)在直線DP上,
∴
∴
∴直線DP的解析式為y=x﹣5.
(2)①若△DOM∽△ABC,圖2(1)所示,
∵△DOM∽△ABC,
∴=.
∵點B坐標(biāo)為(3,4),點D的坐標(biāo)為(0.﹣5),
∴BC=3,AB=4,OD=5.
∴=.
∴OM=.
∵點M在x軸的正半軸上,
∴點M的坐標(biāo)為(,0)
②若△DOM∽△CBA,如圖2(2)所示,
∵△DOM∽△CBA,
∴=.
∵BC=3,AB=4,OD=5,
∴=.
∴OM=.
∵點M在x軸的正半軸上,
∴點M的坐標(biāo)為(,0).
綜上所述:若△DOM與△CBA相似,則點M的坐標(biāo)為(,0)或(,0).
(3)∵OA=3,OC=4,∠AOC=90°,
∴AC=5.
∴PE=PF=AC=.
∵DE、DF都與⊙P相切,
∴DE=DF,∠DEP=∠DFP=90°.
∴S△PED=S△PFD.
∴S四邊形DEPF=2S△PED
=2×PEDE
=PEDE
=DE.
∵∠DEP=90°,
∴DE2=DP2﹣PE2.
=DP2﹣.
根據(jù)“點到直線之間,垂線段最短”可得:
當(dāng)DP⊥AC時,DP最短,
此時DE取到最小值,四邊形DEPF的面積最小.
∵DP⊥AC,
∴∠DPC=90°.
∴∠AOC=∠DPC.
∵∠OCA=∠PCD,∠AOC=∠DPC,
∴△AOC∽△DPC.
∴=.
∵AO=3,AC=5,DC=4﹣(﹣5)=9,
∴=.
∴DP=.
∴DE2=DP2﹣
=()2﹣
=.
∴DE=,
∴S四邊形DEPF=DE
=.
∴四邊形DEPF面積的最小值為.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2﹣4ax+3a.
(Ⅰ)求該二次函數(shù)的對稱軸;
(Ⅱ)若該二次函數(shù)的圖象開口向下,當(dāng)1≤x≤4時,y的最大值是2,且當(dāng)1≤x≤4時,函數(shù)圖象的最高點為點P,最低點為點Q,求△OPQ的面積;
(Ⅲ)若對于該拋物線上的兩點P(x1,y1),Q(x2,y2),當(dāng)t≤x1≤t+1,x2≥5時,均滿足y1≥y2,請結(jié)合圖象,直接寫出t的最大值.
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【題目】(2016廣西賀州市)如圖,將線段AB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A′B′,那么A(﹣2,5)的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)是( 。
A. (2,5) B. (5,2) C. (2,﹣5) D. (5,﹣2)
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【題目】如圖,在中,.點在軸的正半軸上,邊AB在軸上(點A在點B的左側(cè)).
(1)求點C的坐標(biāo).
(2)點D是BC邊上一點,點E是AB邊上一點,且點E和點C關(guān)于AD所在直線對稱,直接寫出點D坐標(biāo).
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【題目】甲、乙兩名射擊運動員進(jìn)行射擊比賽,兩人在相同條件下,各射擊10次,射擊的成績?nèi)鐖D所示.根據(jù)統(tǒng)計圖信息,整理分析數(shù)據(jù)如下:
平均成績(環(huán)) | 中位數(shù)(環(huán)) | 眾數(shù)(環(huán)) | 方差 | |
甲 | 8 | b | 8 | s2 |
乙 | a | 7 | c | 0.6 |
(1)補充表格中a,b,c的值,并求甲的方差s2;
(2)運用表中的四個統(tǒng)計量,簡要分析這兩名運動員的射擊成績,若選派其中一名參賽,你認(rèn)為應(yīng)選哪名運動員?
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【題目】關(guān)于x的方程rx2+(r+2)x+r﹣1=0有根只有整數(shù)根的一切有理數(shù)r的值有( 。﹤.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 不能確定
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【題目】某興趣小組借助無人飛機(jī)航拍校園.如圖,無人飛機(jī)從A處水平飛行至B處需8秒,在地面C處同一方向上分別測得A處的仰角為75°,B處的仰角為30°.已知無人飛機(jī)的飛行速度為4米/秒,求這架無人飛機(jī)的飛行高度.(結(jié)果保留根號)
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【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,A(5, 0), B(0, 5), C(2, 0),連AB
(1)如圖2,D為第一象限內(nèi)一點,CDBC于點C,ADAB于點A,求點D坐標(biāo);
(2)E為軸負(fù)半軸上一動點,連BE,在軸下方做EFBE于點E,并且EF=BE,連FC,直接寫出當(dāng)CF最短時點E的坐標(biāo).
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,E是BC上的一點,且AE=AD,又DF⊥AE于點F
(1)求證:CE=EF;
(2)若EF=2,CD=4,求矩形ABCD的面積.
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