【題目】如圖,正方形ABCO的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)B坐標(biāo)為(8,8),將正方形ABCO繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α(0°<α<90°),得到正方形CDEFED交線段AB于點(diǎn)G,ED的延長(zhǎng)線交線段OA于點(diǎn)H,連CHCG

(1)求證:△CBG≌△CDG;

(2)求∠HCG的度數(shù);判斷線段HG、OH、BG的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;

(3)連結(jié)BD、DA、AEEB得到四邊形AEBD,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,四邊形AEBD能否為矩形?如果能,請(qǐng)求出點(diǎn)H的坐標(biāo);如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)HCG=45°,HG= HO+BG,理由見(jiàn)解析;(3)四邊形AEBD可為矩形,H點(diǎn)的坐標(biāo)為(,0)

【解析】

1)求證全等,觀察兩個(gè)三角形,發(fā)現(xiàn)都有直角,而CG為公共邊,進(jìn)而再鎖定一條直角邊相等即可,因?yàn)槠錇檎叫涡D(zhuǎn)得到,所以邊都相等,即結(jié)論可證.
2)上問(wèn)的結(jié)論,本題一般都要使用才能求出結(jié)果.所以由三角形全等可以得到對(duì)應(yīng)邊、角相等,即BG=DG,∠DCG=BCG.同第一問(wèn)的思路你也容易發(fā)現(xiàn)△CDH≌△COH,也有對(duì)應(yīng)邊、角相等,即OH=DH,∠OCH=DCH.于是∠GCH四角的和,四角恰好組成直角,所以∠GCH=90°,且容易得到OH+BG=HG
3)四邊形AEBD若為矩形,則需先為平行四邊形,即要對(duì)角線互相平分,合適的點(diǎn)只有GAB中點(diǎn)的時(shí)候.由上幾問(wèn)知DG=BG,所以此時(shí)同時(shí)滿足DG=AG=EG=BG,即四邊形AEBD為矩形.求H點(diǎn)的坐標(biāo),可以設(shè)其為(x,0),則OH=x,AH=6-x.而BGAB的一半,所以DG=BG=AG=3.又由(2),HG=x+3,所以RtHGA中,三邊都可以用含x的表達(dá)式表達(dá),那么根據(jù)勾股定理可列方程,進(jìn)而求出x,推得H坐標(biāo).

(1)∵正方形ABCO繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到正方形CDEF,

CD=CB,∠CDG=CBG=90°.

RtCDGRtCBG中,

,,

∴△CDG≌△CBG(HL)

(2)∵△CDG≌△CBG

∴∠DCG=BCG,DG=BG

RtCHORtCHD中,

,

∴△CHO≌△CHD(HL),

∴∠OCH=DCHOH=DH,

∴∠HCG=HCD+GCD= ∠OCD+ ∠DCB= ∠OCB=45°,

HG=HD+DG=HO+BG

(3)四邊形AEBD可為矩形.

如圖,連接BDDA、AEEB,

四邊形AEBD若為矩形,則需先為平行四邊形,即要對(duì)角線互相平分,合適的點(diǎn)只有GAB中點(diǎn)的時(shí)候.

DG=BG,

DG=AG=EG=BG,即平行四邊形AEBD對(duì)角線相等,則其為矩形,

∴當(dāng)G點(diǎn)為AB中點(diǎn)時(shí),四邊形AEBD為矩形.

∵四邊形DAEB為矩形,

AG=EG=BG=DG

AB=8

AG=BG=4

設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,0),則HO=x

OH=DHBG=DG,

HD=xDG=4

RtHGA中,

HG=x+4,GA=4,HA=8x,

(x+4)2=42+(8x)2 , 解得x=

H點(diǎn)的坐標(biāo)為(0)

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2)請(qǐng)用兩種不同的方法表示圖(2)陰影部分的面積;

方法一: 方法二:

3)觀察圖(2),寫出三個(gè)代數(shù)式:(m+n2,(mn2,mn之間的等量關(guān)系.

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(1)求證:拋物線總與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn);
(2)若AB=2,求此拋物線的解析式.
(3)已知x軸上兩點(diǎn)C(2,0),D(5,0),若拋物線y=mx2-8mx+16m-1(m>0)與線段CD有交點(diǎn),請(qǐng)寫出m的取值范圍.

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2)當(dāng)點(diǎn)P在線段EF外運(yùn)動(dòng)時(shí),請(qǐng)你在備用圖中畫(huà)出圖形,并判斷(1)中的結(jié)論是否還成立?若不成立,請(qǐng)你探索∠1,∠2,∠3之間的關(guān)系(不需要證明).

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