Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2）、B（5，6），點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAB周長(zhǎng)最小的時(shí)候：
（1）畫出點(diǎn)P，保留作圖痕跡；
（2）求點(diǎn)P坐標(biāo)；
（3）直線PA上是否存在點(diǎn)M，使得PM=PB？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B與x軸相交于一點(diǎn)，交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)P；
（2）設(shè)AA′與x軸的交點(diǎn)為C，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出A′C、BD的長(zhǎng)度以及CD的長(zhǎng)度，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出CP、PD的比，然后求出CP的長(zhǎng)度，從而得到PO的長(zhǎng)度，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)軸對(duì)稱性可知，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)即為所求的一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)也是符合要求的一個(gè)點(diǎn)．

解答：解：（1）如圖所示，點(diǎn)P即為使△PAB周長(zhǎng)最小的點(diǎn)；

（2）設(shè)AA′與x軸的交點(diǎn)為C，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，
∵A（1，2）、B（5，6），
∴A′C=2，BD=6，CD=5-1=4，
∵A′C⊥x軸，BD⊥x軸，
∴A′C∥BD，
∴△A′CP∽△BDP，
∴

CP

PD

=

A′C

BD

=

2

6

=

1

3

，
∴CP=

1

3

PD=

1

3

（CD-CP）=

1

3

（4-CP），
解得CP=1，
∵A（1，2），
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），
∴OP=1+1=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）；

（3）直線PA上存在點(diǎn)M，使得PM=PB．
①點(diǎn)M為點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)（5，-6）時(shí)，符合題意；
②點(diǎn)（5，-6）關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)時(shí)也符合題意，
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，6），
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（5，-6）或（-1，6）時(shí)，PM=PB．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)一次函數(shù)的綜合考查，利用軸對(duì)稱求最短路線問(wèn)題，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握利用軸對(duì)稱確定最短路線的點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．