Question

如圖，已知△ABC中BC邊上的垂直平分線DE與∠BAC得平分線交于點(diǎn)E，EF⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，EG⊥AC交于點(diǎn)G．求證：
（1）BF=CG；
（2）AF=

1

2

（AB+AC）．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線求出BE=CE，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出EF=GE，證出Rt△BFE≌Rt△CGE即可；
（2）求出△AFE≌△AGE，推出AF=AG，即可得出答案．

解答：證明：（1）
連接BE和CE，
∵DE是BC的垂直平分線，
∴BE=CE，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠BFE=∠EGC=90°，EF=EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中

BE=EG EF=EG

∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），
∴BF=CG；

（2）∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠AFE=∠AGE=90°，∠FAE=∠GAE，
在△AFE和△AGE中

∠FAE=∠GAE ∠AFE=∠AGE AE=AE

∴△AFE≌△AGE，
∴AF=AG，
∵BF=CG，
∴

1

2

（AB+AC）=

1

2

（AF-BF+AG+CG）
=

1

2

（AF+AF）
=AF，
即AF=

1

2

（AB+AC）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，題目比較典型，難度適中．