Question

13．如圖，在正方形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，E為AD上的一點(diǎn)，連接BE，點(diǎn)G在BE上，連結(jié)OG并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，若∠FGE=45°．
（1）求證：AB²=BG•BE；
（2）連接AG，試判斷AG與BE有怎樣的位置關(guān)系？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由△GBO∽△DBE得BO•BD=BG•BE，由△ABO∽△DBA得BO•BD=•AB²，由此即可證明．
（2）由△ABG∽△EBA得∠BGA=∠BAE=90即可證明．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∠DAB=90°，∠ADB=∠BDC=45°，
∵∠FGE=∠BGO=45°，
∴∠BGO=∠BDE，∵∠GBO=∠EBD，
∴△GBO∽△DBE，
∴$\frac{BG}{BD}=\frac{BO}{BE}$，
∴BO•BD=BG•BE，
∵∠ABO=∠ABD，∠BOA=∠BAD=90°，
∴△ABO∽△DBA，
∴$\frac{BO}{BA}=\frac{BA}{BD}$，
∴BO•BD=•AB²，
∴AB²=BG•BE．
（2）結(jié)論：AG⊥BE，理由：證明：∵AB²=BG•BE，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{BG}{AB}$，∵∠ABG=∠ABE，
∴△ABG∽△EBA，
∴∠BGA=∠BAE=90°，
∴AG⊥BE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是尋找相似三角形，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，本題需要兩次相似三角形，有點(diǎn)難度，本題還提供了一種證明直角的思路，就是利用相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等證明．