Question

1．如圖，△ABC中，∠C=90°，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)．
（1）如圖1，求sin∠DFE的值；
（2）如圖2，若$\frac{BF}{AF}$=$\frac{2}{3}$，求sin∠DEF的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1所示：連接OD、OE．先證明四邊形ODCE為矩形，從而得到∠EOD=90°，依據(jù)圓周角定理可得到∠EFD=45°，于是可得到sin∠EFD的值；
（2）如圖所示；練級(jí)OE、DO、OF，OA．先證明四邊形ODCE為正方形．EC=DC=r．由切線長定理可得到AC=3k+r，BC=2k+r，AB=5k，然后再△ABC中，依據(jù)勾股定理可求得：r=k，在依據(jù)勾股定理求得AO的長，由銳角三角函數(shù)的定義可得到sin∠FOA的值，然后根據(jù)∠AOF=∠FED，可求得sin∠FED的值．

解答 解：（1）如圖1所示：連接OD、OE．

∵圓O為三角形的內(nèi)切圓，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，即∠ODC=∠OED=90°．
又∵∠C=90°，
∴四邊形ODCE為矩形．
∴∠EFD=45°．
∴sin∠EFD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）如圖所示，連接OE、DO、OF，OA．

由（1）可知四邊形ODCE為矩形．
又∵OE=OF，
∴四邊形ODCE為正方形．
∴EC=DC=r．
設(shè)BF=2k，AF=3k，則AD=3k，BE=2k，
∴AC=3k+r，BC=2k+r，AB=5k．
在△ABC中，由勾股定理得；AB²=AC²+BC²，即（5k）²=（3k+r）²+（2k+r）²．
解得：r=k．
∴OF=k．
在△AOF中，OA=$\sqrt{O{F}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{10}$k．
∴sin∠FOA=$\frac{3}{\sqrt{10}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∵∠AOF=$\frac{1}{2}$∠FOD，∠FED=$\frac{1}{2}$∠FOD，
∴∠AOF=∠FED．
∴sin∠FED=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是三角形的內(nèi)切圓、銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理、正方形的判定，用含k的式子表示出圓的半徑的長度是解題的關(guān)鍵．