Question

【題目】在矩形中，連結(jié)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著的路徑運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）. 過點(diǎn)作于點(diǎn)，在矩形的內(nèi)部作正方形. （在的右側(cè)）

（1）如圖，當(dāng)時(shí)，

①若點(diǎn)在的內(nèi)部，連結(jié)、，求證：；

②當(dāng)時(shí)，設(shè)正方形與的重疊部分面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)時(shí)，若直線將矩形的面積分成兩部分，求的值.

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②；（2）或或

【解析】

（1）①如圖1中，證明△AEH≌△CGH（SAS）即可解決問題．
②分兩種情形分別求解：如圖1中，當(dāng)0＜t≤4時(shí)，重疊部分是正方形EFGH．如圖2中，當(dāng)4＜t≤8時(shí)，重疊部分是五邊形EFGMN．
（2）分三種情形分別求解：①如圖31中，延長AH交BC于M，當(dāng)BM＝CM＝4時(shí)，直線AH將矩形ABCD的面積分成1：3兩部分．②如圖32中，延長AH交CD于M交BC的延長線于K，當(dāng)CM＝DM＝3時(shí)，直線AH將矩形ABCD的面積分成1：3兩部分．③如圖33中，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，延長AH交CD于M，交BC的延長線于N．當(dāng)CM＝DM時(shí)，直線AH將矩形ABCD的面積分成1：3兩部分．

（1）①如圖1中，

∵四邊形是正方形，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴.

②如圖1中，當(dāng)時(shí)，重疊部分是正方形，.

如圖2中，當(dāng)時(shí)，重疊部分是五邊形，

.

綜上所述，.

（2）如圖3-1中，延長交于，

當(dāng)時(shí)，直線將矩形的面積分成兩部分.

∵，

∴，

∴，

∴.

如圖3-2 中，延長交于，交的延長線于，

當(dāng)時(shí)，直線將矩形的面積分成兩部分，易證，

∵，

∴，

∴，

∴.

如圖3-3 中，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，延長交于，交的延長線于.

當(dāng)時(shí)，直線將矩形的面積分成兩部分，易證.

在中，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

解得.

綜上所述，滿足條件的的值為或或.