Question

【題目】如圖，在ABCD中，點E在BC的延長線上，且CE=BC，AE=AB，AE、DC相交于點O，連接DE．

（1）求證：四邊形ACED是矩形；

（2）若∠AOD=120°，AC=4，求對角線CD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）8．

【解析】

（1）根據平行四邊形的性質得出AD∥BC，AD=BC，AB=DC，求出AD=CE，AD∥CE，AE=DC，根據矩形的判定得出即可；

（2）根據矩形的性質得出OAAE，OCCD，AE=CD，求出OA=OC，求出△AOC是等邊三角形，即可得出答案．

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC，AB=DC．

∵CE=BC，

∴AD=CE，AD∥CE，

∴四邊形ACED是平行四邊形．

∵AB=DC，AE=AB，

∴AE=DC，

∴四邊形ACED是矩形；

（2）∵四邊形ACED是矩形，

∴OAAE，OCCD，AE=CD，

∴OA=OC．

∵∠AOC=180°﹣∠AOD=180°﹣120°=60°，

∴△AOC是等邊三角形，

∴OC=AC=4，

∴CD=8．