Question

已知點P是正方形ABCD內(nèi)一點，且點P到A，B，D的距離分別為1，2，

2

，求正方形ABCD的面積．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),勾股定理,勾股定理的逆定理,正方形的性質(zhì)

專題：計算題

分析：將△APD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AP′B，過A作AN⊥BP′于N，得出等腰直角三角形APP′，求出PP′，求出直角三角形BPP′，求出等腰直角三角形ANP′，求出AN，根據(jù)勾股定理求出AB的值，即可求出正方形的面積．

解答：解：將△APD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AP′B，則P′A=1，P′B=

2

，
則△APP′是等腰直角三角形，PP′=

2

，∠AP′P=45°，
∵PP′²+P′B²=(

2

)2+(

2

)  2=4，PB²=4，
∴PP′²+P′B²=PB²，
∴△PP′B是等腰直角三角形，
∴∠PP′B=90°，
過A作AN⊥BP′于N，
則∠AP′N=180°-90°-45°=45°，
即△ANP′是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AN=NP′=

2

2

，
由勾股定理得：AB²=AN²+BN²，
=(

2

2

)2+(

2

2

+

2

) 2，
=5，
∴正方形ABCD的面積是5．

點評：本題考查了正方形性質(zhì)，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是正確作輔助線，本題具有一定的代表性，有一定的難度，對學(xué)生提出較高的要求．