Question

如圖，等腰直角三角形ABD，點C是直角邊AD上的動點，連接CB．現(xiàn)在將點C繞點A逆時針方向旋轉90°得點E，再將點C繞點B順時針方向旋轉90°得點F．如果AD=BD=

2

，那么S_△AED+S_△BFD-S_△ABC=

 

．（其中S_△AED表示△AED的面積）

Answer 1

考點：旋轉的性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：作CM⊥AB，DN⊥BF垂足分別為M，N，由△ABD為等腰直角三角形，已知AD=BD=

2

，由勾股定理，得AB=2，設AC=x，則AE=AM=CM=

2

2

x，由此可分別表示S_△AED和S_△ABC，利用S△BFD=

1

2

BF×DN，根據(jù)∠NDB+∠DBN=90°，∠DBN+∠CBD=90°，可證∠NDB=∠CBD，可證△BDN∽△CBD，利用相似比將BF×DN=DN×BC進行轉化，繼而可求得S_△AED+S_△BFD-S_△ABC的值．

解答：解：作CM⊥AB，DN⊥BF垂足分別為M，N，
由旋轉的性質(zhì)可知AC=AE，BC=BF，
設AC=x，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴∠DAB=45°，
∴AE=AM=CM=AC•sin45°=

2

2

x，
又∵AD=BD=

2

，
∴AB=

AD2+BD2

=2，
∴S_△AED=

1

2

×AE×AD=

2

2

x，S_△ABC=

1

2

×AB×CM=

2

2

x，
∵∠DBC+∠DCB=90°，∠DBC+∠DBN=90°，
∴∠DCB=∠DBBN，
∵∠DNB=∠BDC=90°，
∴△BDN∽△CBD，
∴DN：BD=BD：BC，
∴DN×BC=BD²=2，
∴S_△BFD=

1

2

×BF×DN=

1

2

×DN×BC=1，
∴S_△AED+S_△BFD-S_△ABC=

2

2

x+1-

2

2

x=1．
故答案為：1．

點評：本題考查了旋轉的性質(zhì)，三角形面積的表示方法，相似三角形的判定與性質(zhì)的運用．注意旋轉前后對應角相等，對應邊相等，旋轉角為對應點與旋轉中心連線的夾角．