Question

已知0≤x≤1時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-ax+a²的最小值為m．
（1）求m的值；（用含a的式子表示）
（2）求m的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的最值

專題：

分析：（1）先配方得到f（x）=（x-

a

2

）²+

3

4

a²，則拋物線的對稱軸為直線x=

a

2

，而拋物線開口向上，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)討論：當(dāng)0≤

a

2

≤1時(shí)，m=

3

4

a²；當(dāng)

a

2

≤0時(shí)，m=f（0）=a²；當(dāng)

a

2

≥1，m=f（1）=a²-a+1；
（2）分段求最大值：當(dāng)0≤a≤2，對于m=

3

4

a²，m的最大值為3；當(dāng)a≤0，m沒有最大值；當(dāng)a≥2，m=a²-a+1=（a-

1

2

）²+

3

4

，a=2時(shí)，m有最大值3．

解答：解：（1）f（x）=x²-ax+a²
=（x-

a

2

）²+

3

4

a²，
拋物線的對稱軸為直線x=

a

2

，拋物線開口向上，
當(dāng)0≤

a

2

≤1時(shí)，即0≤a≤2，m=

3

4

a²；
當(dāng)

a

2

≤0時(shí)，即a≤0，m=f（0）=a²；
當(dāng)

a

2

≥1，即a≥2，m=f（1）=a²-a+1；
（2）當(dāng)0≤

a

2

≤1時(shí)，即0≤a≤2，對于m=

3

4

a²，m的最大值為3；
當(dāng)

a

2

≤0時(shí)，即a≤0，對于m=a²，m沒有最大值；
當(dāng)

a

2

≥1，即a≥2，m=a²-a+1=（a-

1

2

）²+

3

4

，a=2時(shí)，m有最大值3．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)y=ax²+bx+c的最值：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因?yàn)閳D象有最低點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x=-

b

2a

時(shí)，y=

4ac-b2

4a

；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因?yàn)閳D象有最高點(diǎn)，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x=-

b

2a

時(shí)，y=

4ac-b2

4a

．