Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，與軸交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與該拋物線交于另一點(diǎn)，并且直線軸，點(diǎn)為該拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）當(dāng)，且時(shí)，連接，，求證：四邊形是平行四邊形

（2）當(dāng)時(shí)，連接，線段與線段交于點(diǎn)，，且，連接，求線段的長；

（3）連接，，試探究：是否存在點(diǎn)，使得與互為余角?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）由二次函數(shù)的性質(zhì)，先求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，然后得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，則得到與的值，把點(diǎn)P代入拋物線，求出m的值，由平行四邊形的判定，即可得到答案；

（2）由題意，表示PQ的長度，然后求出，，再由，得到，即可得到答案；

（3）根據(jù)題意，利用三角函數(shù)得到，然后分兩種情況進(jìn)行分類討論：①當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，；②當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，，

；分別求出m的值，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：如圖：

（1）證明：當(dāng)時(shí)，，

解得，

，

.

當(dāng)時(shí)，，

.

∵直線軸，

∴直線的解析式為.

，

解得，

，

.

∵點(diǎn)在直線上，

.

，

，點(diǎn)在該拋物線上，

解得或 (舍去).

∵直線軸，

，

，

，

∴四邊形是平行四邊形.

（2）兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是，

∴直線軸，

設(shè)，則，

，

解得：或.

，

，.

∵直線軸，

，

∴，

，

，

,

，

；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)，使得與互為余角，即.

，

.

，

連接.

∵直線軸，直線軸，

是直角三角形，且.

①當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，

(i)若點(diǎn)在軸左側(cè)，則，

.

，解得 (舍去)， (舍去).

(ii)若點(diǎn)在軸右側(cè)，則，

.

，解得 (舍去)，.

，

②當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，，

，解得 (舍去)，

，

；

綜上，存在點(diǎn)，使得與互為余角．