Question

【題目】點(diǎn)P是菱形ABCD的對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知AB=1，∠ADC=120°, 點(diǎn)M，N分別是AB，BC邊上的中點(diǎn)，則△MPN的周長最小值是______.

Answer 1

【答案】.

【解析】

先作點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接M′N交AC于P，此時(shí)MP+NP有最小值．然后證明四邊形ABNM′為平行四邊形，即可求出MP+NP=M′N=AB=1，再求出MN的長即可求出答案．

如圖，作點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接M′N交AC于P，此時(shí)MP+NP有最小值，最小值為M′N的長．

∵菱形ABCD關(guān)于AC對(duì)稱，M是AB邊上的中點(diǎn)，

∴M′是AD的中點(diǎn)，

又∵N是BC邊上的中點(diǎn)，

∴AM′∥BN，AM′=BN，

∴四邊形ABNM′是平行四邊形，

∴M′N=AB=1，

∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值為1，

連結(jié)MN，過點(diǎn)B作BE⊥MN，垂足為點(diǎn)E，

∴ME=MN，

在Rt△MBE中，，BM=

∴ME=，

∴MN=

∴△MPN的周長最小值是+1.

故答案為：+1.