【題目】如圖,在菱形ABCD中,點EBC邊上一動點(不與點C重合)對角線ACBD相交于點O,連接AE,交BD于點G

1)根據(jù)給出的△AEC,作出它的外接圓⊙F,并標(biāo)出圓心F(不寫作法和證明,保留作圖痕跡);

2)在(1)的條件下,連接EF求證:∠AEF=∠DBC;

tGF2+AGGE,當(dāng)AB6,BD6時,求t的取值范圍.

【答案】(1)見解析(2)①證明見解析②9t12

【解析】

1)作EC的垂直平分線,其與BD的交點即為外心F;

2)連接AF,EF,利用菱形的性質(zhì)及外心的定義可證明∠DBC90°﹣∠ACB及∠AEF90°﹣∠ACB,可推出結(jié)論;

3)先證△ABG∽△FEG,再證△EFB∽△GFE,由相似三角形的性質(zhì)可推出tGF2+AGGEGF2+GFBGGFGF+BG)=GFBFEF2,在菱形ABCD中,ACBD,EFAFAO,∴EF2AO2329,當(dāng)點F與點O重合時,AF最大,求出此時t的最大值為12,即可寫出t的取值范圍.

解:(1)如圖1,⊙F為所求作的圓;

2)①證明:

如圖2,連接AFEF,

∵四邊形ABCD為菱形,

ACBD,

∴∠DBC90°﹣∠ACB

FAFE,

∴∠AEF=∠FAE

∴∠AEF180°﹣∠AFE)=90°﹣AFE,

又∠ACBAFE

∴∠AEF90°﹣∠ACB,

又∵∠DBC90°﹣∠ACB,

∴∠AEF=∠DBC;

②解:∵四邊形ABCD為菱形,

∴∠ABD=∠CBD,AOCO,BODOBD×,

RtABO中,AO,

又∵∠AGB=∠FGE,∠ABG=∠FEG,

∴△ABG∽△FEG,

AGGEGFBG,

∵∠GEF=∠FBE,∠GFE=∠EFB,

∴△EFB∽△GFE,

,

GFBFEF2,

tGF2+AGGEGF2+GFBGGFGF+BG)=GFBFEF2,

在菱形ABCD中,ACBD,EFAFAO

EF2AO2329,

如圖3,當(dāng)點F與點O重合時,AF最大,

由題意可知:AFBF,設(shè)AFx,則OF3x

AO2+OF2AF2,

32+3x2x2,

解得,x2,

∴當(dāng)x2時,t的最大值為12,

9t12

練習(xí)冊系列答案
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1)根據(jù)下表中自變量的取值進行去電,畫圖,測量,分別得到幾組對應(yīng)值,請將表格補充完成.

0

1

2

3

4

5

6

3

2.22

3

4.11

5.39

6.72

4.24

2.81

1.39

0

2.84

4.26

其中, ,

2)在同一平面黃子佼坐標(biāo)系中,描點 ,并畫出的函數(shù)圖像;

3)當(dāng)為等腰三角形時,的長度約為

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【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,∠B90°,ADBC,且AD4cm,AB6cm,DC10cm.若動點PA點出發(fā),以每秒4cm的速度沿線段AD、DCC點運動;動點QC點出發(fā)以每秒5cm的速度沿CBB點運動,當(dāng)Q點到達B點時,動點PQ同時停止運動.設(shè)點P、Q同時出發(fā),并運動了t秒.

1)當(dāng)t為多少秒時,四邊形PQCD是平行四邊形?請說明理由;

2)當(dāng)t為多少秒時,AQDC?請說明理由;

3)當(dāng)t為多少秒時,PQDC?請說明理由.

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線yax2+bx+c的圖象與x軸交于A4,0),B兩點,與y軸交于點C02),對稱軸x1,與x軸交于點H

1)求拋物線的函數(shù)表達式;

2)直線ykx+1k0)與y軸交于點E,與拋物線交于點 P,Q(點Py軸左側(cè),點Qy軸右側(cè)),連接CPCQ,若△CPQ的面積為,求點PQ的坐標(biāo);

3)在(2)的條件下,連接ACPQG,在對稱軸上是否存在一點K,連接GK,將線段GK繞點G順時針旋轉(zhuǎn)90°,使點K恰好落在拋物線上,若存在,請直接寫出點K的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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【題目】元旦期間,甲、乙兩家商場都進行了促銷活動,如何才能更好地衡量釧銷對消費者受益程度的大小呢?某數(shù)學(xué)小組通過合作探究發(fā)現(xiàn)用優(yōu)惠率p=(其中k代表優(yōu)惠金額,m代表顧客購買商品的總金額)可以很好地進行衡量,優(yōu)惠率p越大,消費者受益程度越大;反之就越小.經(jīng)統(tǒng)計,若顧客在甲、乙兩家商場購買商品的總金額都為m(200≤m400)元時,優(yōu)惠率分別為P=P=,它們與m的關(guān)系圖象如圖所示,其中pm成反比例函數(shù)關(guān)系,p保持定值.

(1)求出k的值,并用含m的代數(shù)式表示k.

(2)當(dāng)購買總金額m()200≤m400的條件下時,指出甲、乙兩家商場正在采取的促銷方案分別是什么.

(3)品牌、質(zhì)量、規(guī)格等都相同的基本種商品,在甲、乙兩家商場的標(biāo)價都是m(200≤m400)元,你認為選擇哪家商場購買該商品花錢少些?請說明理由.

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1)求買一件文化衫、一本留言冊各需多少元?

2)如果用于給老師買紀念品的錢數(shù)不少于120元,則這50件紀念品(每人一件文化衫或一本留言冊)中最多能買多少件文化衫?

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(1)當(dāng)t為何值時,四邊形AQDM是平行四邊形?

(2)證明:在P、Q運動的過程中,總有CQ=AM;

(3)是否存在某一時刻t,使四邊形ANPM的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半?若存在,求出相應(yīng)的t值;若不存在,說明理由.

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