【題目】如圖,BD是△ABC的角平分線,它的垂直平分線分別交AB,BD,BC于點E,F(xiàn),G,連接ED,DG.

(1)請判斷四邊形EBGD的形狀,并說明理由;

(2)若∠ABC=30°,∠C=45°,ED=2,點H是BD上的一個動點,求HG+HC的最小值.

【答案】1)四邊形EBGD是菱形,理由見解析;(2.

【解析】試題分析:(1)四邊形EBGD是菱形,根據(jù)已知條件易證△EFD≌△GFB,可得ED=BG,所以BE=ED=DG=GB,即可判定四邊形EBGD是菱形.(2)作EM⊥BCM,DN⊥BCN,連接ECBD于點H,此時HG+HC最小,在RT△EMC中,求出EMMC即可解決問題.

試題解析:(1)四邊形EBGD是菱形.

理由:∵EG垂直平分BD,

∴EB=ED,GB=GD

∴∠EBD=∠EDB,

∵∠EBD=∠DBC

∴∠EDF=∠GBF,

△EFD△GFB中,

,

∴△EFD≌△GFB,

∴ED=BG,

∴BE=ED=DG=GB,

四邊形EBGD是菱形.

2)作EM⊥BCM,DN⊥BCN,連接ECBD于點H,此時HG+HC最小,

RT△EBM中,∵∠EMB=90°∠EBM=30°,EB=ED=2,

∴EM=BE=,

∵DE∥BCEM⊥BC,DN⊥BC

∴EM∥DN,EM=DN=,MN=DE=2,

RT△DNC中,∵∠DNC=90°,∠DCN=45°,

∴∠NDC=∠NCD=45°,

∴DN=NC=,

∴MC=3,

RT△EMC中,∵∠EMC=90°EM=MC=3,

∴EC===10

∵HG+HC=EH+HC=EC

∴HG+HC的最小值為10

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