【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx﹣c,它與x軸交于A、B,且A、B位于原點兩側(cè),與y的正半軸交于C,頂點D在y軸右側(cè)的直線l:y=4上,則下列說法:①bc<0;②0<b<4;③AB=4;④S△ABD=8.其中正確的結(jié)論有( )
A.①②B.②③C.①②③D.①②③④
【答案】D
【解析】
先由拋物線解析式得到a=-1<0,利用拋物線的對稱軸得到b=-2a<0,易得c<0,于是可對①進行判斷;由頂點D在y軸右側(cè)的直線l:y=4上可得b的范圍,從而可判斷②是否正確;由a=-1及頂點D在y軸右側(cè)的直線:y=4上,可得拋物線與x軸兩交點之間的距離AB為定值,故可取b=2進行計算,即可求得AB的長度及S△ABD的大小.
∵拋物線開口向下,
∴<0,
∵拋物線的對稱軸為直線>0,
∴b>0,
而拋物線與y軸的交點在軸上方,
∴>0,則c<0,
∴bc<0,故①正確;
由頂點D在y軸右側(cè)的直線l:y=4上可得:
,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴②正確;
∵,
∴該拋物線的開口方向及大小是一定的,
又∵頂點D在y軸右側(cè)的直線:y=4上,
∴該拋物線與x軸兩交點之間的距離AB是定值,
故令,
則,
此時拋物線解析式為:,
由,
得x1=﹣1,x2=3,
故AB=4,
∴③正確;
S△ABD=,
故④正確;
綜上,①②③④均正確,
故選:D.
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【題目】綜合與實踐:折紙中的數(shù)學
問題背景
在數(shù)學活動課上,老師首先將平行四邊形紙片ABCD按如圖①所示方式折疊,使點C與點A重合,點D落到D′處,折痕為EF.這時同學們很快證得:△AEF是等腰三角形.接下來各學習小組也動手操作起來,請你解決他們提出的問題.
操作發(fā)現(xiàn)
(1) “爭先”小組將矩形紙片ABCD按上述方式折疊,如圖②,發(fā)現(xiàn)重疊部分△AEF恰好是等邊三角形,求矩形ABCD的長、寬之比是多少?
實踐探究
(2)“勵志”小組將矩形紙片ABCD沿EF折疊,如圖③,使B點落在AD邊上的B′處;沿B′G折疊,使D點落在D′處,且B′D′過F點.試探究四邊形EFGB′是什么特殊四邊形?
(3)再探究:在圖③中連接BB′,試判斷并證明△BB′G的形狀.
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【題目】如圖,點A、B在雙曲線(x<0)上,連接OA、AB,以OA、AB為邊作OABC.若點C恰落在雙曲線(x>0)上,此時OABC的面積為( 。
A.B.C.D.4
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【題目】如圖,在△ABC中,BC=6,E,F分別是AB,AC的中點,動點P在射線EF上,BP交CE于點D,∠CBP的平分線交CE于點Q,當CQ=CE時,EP+BP的值為( )
A.6B.9C.12D.18
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=(k為常數(shù),k≠0)的圖象交于二、四象限內(nèi)的A、B兩點,與y軸交于C點.點A的坐標為(m,3),點B與點A關(guān)于y=x成軸對稱,tan∠AOC=.
(1)求k的值;
(2)直接寫出點B的坐標,并求直線AB的解析式;
(3)P是y軸上一點,且S△PBC=2S△AOB,求點P的坐標.
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【題目】如圖,四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形,A為弧BD中點,連接對角線AC,E在AC上,且AE=AB求證:
(1)∠CBE=∠CAD;
(2)AC2=BCCD+AB2.
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【題目】某汽車銷售商推出分期付款購車促銷活動,交首付款后,余額要在30個月內(nèi)結(jié)清,不計算利息,王先生在活動期間購買了價格為12萬元的汽車,交了首付款后平均每月付款萬元,個月結(jié)清.與的函數(shù)關(guān)系如圖所示,根據(jù)圖像回答下列問題:
(1)確定與的函數(shù)解析式,并求出首付款的數(shù)目;
(2)王先生若用20個月結(jié)清,平均每月應(yīng)付多少萬元?
(3)如果打算每月付款不超過4000元,王先生至少要幾個月才能結(jié)清余額?
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【題目】如圖,一次函數(shù)y1=k1x+b與反比例函數(shù)y2=的圖象交于點A(a,﹣2)和B(2,3),且直線AB交y軸于點C,連接OA、OB.
(1)求反比例函數(shù)的解析式和點A的坐標;
(2)根據(jù)圖象直接寫出:當x在什么范圍取值時,y1<y2.
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【題目】放寒假,小明的爸爸把油箱注滿油后準備駕駛汽車到距家300的學校接小明,在接到小明后立即按原路返回,已知小明爸爸汽車油箱的容積為70,請回答下列問題:
(1)寫出油箱注滿油后,汽車能夠行使的總路程與平均耗油量之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)小明的爸爸以平均每千米耗油0.1的速度駕駛汽車到達學校,在返回時由于下雨,小明的爸爸降低了車速,此時每千米的耗油量增加了一倍,如果小明的爸爸始終以此速度行使,油箱里的油是否夠回到家?如果不夠用,請通過計算說明至少還需加多少油?
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