【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=(k為常數(shù),k≠0)的圖象交于二、四象限內(nèi)的A、B兩點,與y軸交于C點.點A的坐標(biāo)為(m,3),點B與點A關(guān)于y=x成軸對稱,tan∠AOC=.
(1)求k的值;
(2)直接寫出點B的坐標(biāo),并求直線AB的解析式;
(3)P是y軸上一點,且S△PBC=2S△AOB,求點P的坐標(biāo).
【答案】(1)k=﹣3;(2)B(3,﹣1),直線AB的解析式為y=﹣x+2;(3)P點的坐標(biāo)為(0,)或(0,﹣).
【解析】
(1)作AD⊥y軸于D,根據(jù)正切函數(shù),可得AD的長,得到A的坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法,可得k的值;
(2)根據(jù)題意即可求得B點的坐標(biāo),然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線AB的解析式;
(3)先根據(jù)S△AOB=S△AOC+S△BOC求得△AOB的面積為4,然后設(shè)P(0,t),得出S△PBC=|t﹣2|×3=|t﹣2|,由S△PBC=2S△AOB列出關(guān)于t的方程,解得即可.
解:(1)作AD⊥y軸于D,
∵點A的坐標(biāo)為(m,3),
∴OD=3,
∵tan∠AOC=.
∴,即,
∴AD=1,
∴A(﹣1,3),
∵在反比例函數(shù)y=(k為常數(shù),k≠0)的圖象上,
∴k=﹣1×3=﹣3;
(2)∵點B與點A關(guān)于y=x成軸對稱,
∴B(3,﹣1),
∵A、B在一次函數(shù)y=ax+b的圖象上,
∴,解得,
∴直線AB的解析式為y=﹣x+2;
(3)連接OC,
由直線AB為y=﹣x+2可知,C(0,2),
∵S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×1+×2×3=4,
∵P是y軸上一點,
∴設(shè)P(0,t),
∴S△PBC=|t﹣2|×3=|t﹣2|,
∵S△PBC=2S△AOB,
∴|t﹣2|=2×4,
∴t=或t=﹣,
∴P點的坐標(biāo)為(0,)或(0,﹣).
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【題目】某汽車專賣店經(jīng)銷某種型號的汽車.已知該型號汽車的進(jìn)價為萬元/輛,經(jīng)銷一段時間后發(fā)現(xiàn):當(dāng)該型號汽車售價定為萬元/輛時,平均每周售出輛;售價每降低萬元,平均每周多售出輛.
(1)當(dāng)售價為萬元/輛時,平均每周的銷售利潤為___________萬元;
(2)若該店計劃平均每周的銷售利潤是萬元,為了盡快減少庫存,求每輛汽車的售價.
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【題目】如圖,排球運動員站在點O處練習(xí)發(fā)球,將球從O點正上方2 m的A處發(fā)出,把球看成點,其運行的高度y(m)與運行的水平距離x(m)滿足關(guān)系式y=a(x-6)2+h.已知球網(wǎng)與O點的水平距離為9 m,高度為2.43 m,球場的邊界距O點的水平距離為18 m.
(1)當(dāng)h=2.6時,求y與x的關(guān)系式(不要求寫出自變量x的取值范圍)
(2)當(dāng)h=2.6時,球能否越過球網(wǎng)?球會不會出界?請說明理由.
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【題目】某超市銷售一種商品,成本每千克40元,規(guī)定每千克售價不低于成本,且不高于80元,經(jīng)市場調(diào)查,每天的銷售量y(千克)與每千克售價x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系,部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表:
(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)商品每天的總利潤為W(元),求W與x之間的函數(shù)表達(dá)式(利潤=收入-成本);
(3)試說明(2)中總利潤W隨售價x的變化而變化的情況,并指出售價為多少元時獲得最大利潤,最大利潤是多少?
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【題目】如圖,在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中,△ABC和△DEF的頂點都在格點上,P1,P2,P3,P4,P5是△DEF邊上的5個格點,請按要求完成下列各題:
(1)試證明三角形△ABC為直角三角形;
(2)判斷△ABC和△DEF是否相似,并說明理由;
(3)畫一個三角形,使它的三個頂點為P1,P2,P3,P4,P5中的3個格點并且與△ABC相似(要求:不寫作法與證明).
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【題目】“一般的,如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個公共點,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根.——蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(下冊)P21”參考上述教材中的話,判斷方程x2﹣2x=﹣2實數(shù)根的情況是 ( )
A. 有三個實數(shù)根 B. 有兩個實數(shù)根 C. 有一個實數(shù)根 D. 無實數(shù)根
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【題目】為了解某小區(qū)居民使用共享單車次數(shù)的情況,某研究小組隨機采訪該小區(qū)的10位居民,得到這10位居民一周內(nèi)使用共享單車的次數(shù)統(tǒng)計如下:
使用次數(shù) | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
人數(shù) | 1 | 1 | 4 | 3 | 1 |
(1)這10位居民一周內(nèi)使用共享單車次數(shù)的中位數(shù)是 次,眾數(shù)是 次.
(2)若小明同學(xué)把數(shù)據(jù)“20”看成了“30”,那么中位數(shù),眾數(shù)和平均數(shù)中不受影響的是 .(填“中位數(shù)”,“眾數(shù)”或“平均數(shù)”)
(3)若該小區(qū)有2000名居民,試估計該小區(qū)居民一周內(nèi)使用共享單車的總次數(shù).
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【題目】在矩形中,,.
(1)請用尺規(guī)在邊上確定一點,連接、,使平分;(保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)判斷的形狀,并說明理由.
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【題目】已知:如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,以BC為直徑的⊙O交AB于點D,E為的中點.
(1)求證:∠ACD=∠DEC;(2)延長DE、CB交于點P,若PB=BO,DE=2,求PE的長
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