Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點P在⊙O上，PB與CD交于點F，∠PBC=∠C．
（1）求證：CB∥PD；
（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半徑R=2，求劣弧AC的長度．

Answer 1

考點：垂徑定理,圓周角定理,弧長的計算

專題：幾何圖形問題

分析：（1）先根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出∠PBC=∠D，再由等量代換得出∠C=∠D，然后根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行即可證明CB∥PD；
（2）先由垂徑定理及圓周角定理得出∠BOC=2∠PBC=45°，再根據(jù)鄰補角定義求出∠AOC=135°，然后根據(jù)弧長的計算公式即可得出劣弧AC的長度．

解答：解：（1）∵∠PBC=∠D，∠PBC=∠C，
∴∠C=∠D，
∴CB∥PD；

（2）連結(jié)OC，OD．
∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，
∴

BC

=

BD

，
∵∠PBC=∠DCB=22.5°，
∴∠BOC=∠BOD=2∠C=45°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=135°，
∴劣弧AC的長為：

135×π×2

180

=

3π

2

．

點評：本題考查了圓周角定理，平行線的判定，垂徑定理，弧長的計算，難度適中．（2）中求出∠AOC=135°是解題的關(guān)鍵．