Question

【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的動(dòng)點(diǎn)P和圖形N，給出如下定義：如果Q為圖形N上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P，Q兩點(diǎn)間距離的最大值為dmax，P，Q兩點(diǎn)間距離的最小值為dmin，我們把dmax+dmin的值叫點(diǎn)P和圖形N間的“和距離”，記作d（P，圖形N）．

（1）如圖1，正方形ABCD的中心為點(diǎn)O，A（3，3）．

①點(diǎn)O到線段AB的“和距離”d（O，線段AB）=______；

②設(shè)該正方形與y軸交于點(diǎn)E和F，點(diǎn)P在線段EF上，d（P，正方形ABCD）=7，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（2）如圖2，在（1）的條件下，過(guò)C，D兩點(diǎn)作射線CD，連接AC，點(diǎn)M是射線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果6＜d（M，線段AC）＜6+3，直接寫出M點(diǎn)橫坐標(biāo)t取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①；②點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）或（0，-1）；（2）t取值范圍是-3＜t＜3．

【解析】

（1）①根據(jù)“和距離“的定義計(jì)算：OE是兩點(diǎn)間距離的最小值，OA是兩點(diǎn)間的最大值，相加可得結(jié)論；
②分兩種情況：P在y軸的正半軸和負(fù)半軸上，根據(jù)“和距離“的定義，并由d（P，正方形ABCD）=7，列方程計(jì)算即可得；
（2）分M在線段CD上和延長(zhǎng)線上兩種情況，利用“和距離”的定義列方程可得結(jié)論．

解：（1）①如圖1，連接OA，

∵四邊形ABCD是正方形，且A（3，3），

∴dmax+dmin=OE+OA=3+3，即d（O，線段AB）=3+3，

故答案為：3+3；

②設(shè)P（0，y），

∵d（P，正方形ABCD）=7，

∴dmax+dmin=7，

分兩種情況：

∵E（0，3），F（0，-3），且P是線段EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

i）當(dāng)P在x軸上方時(shí)，如圖2，連接PC，

∴dmax+dmin=PE+PC=7，

3-y+=7，

解得：y=1，

經(jīng)檢驗(yàn)，y=1是原方程的解，

∴P（0，1），

ii）當(dāng)P在x軸的下方時(shí)，同理可得P（0，-1）；

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）或（0，-1）；

（2）分兩種情況：

①當(dāng)-3≤t＜3時(shí)，如圖3，M在線段CD上，過(guò)M作MN⊥AC于N，連接AM，

∵M點(diǎn)橫坐標(biāo)是t，

∴CM=t+3，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ACD=45°，

∴△CMN是等腰直角三角形，

∴MN=（t+3），

∴d（M，線段AC）=MN+MA=（t+3）+，

②當(dāng)t≥3時(shí)，如圖4，M在線段CD的延長(zhǎng)線上，過(guò)M作MN⊥AC于N，

同理MN==（t+3），

∴d（M，線段AC）=MN+CM=（t+3）+t+3，

∵在動(dòng)點(diǎn)M從C到D方向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，MN+MA越來(lái)越大，

∴（t+3）+=6，解得：t=-3，

（t+3）+t+3=6+3，解得：t=3，

∴M點(diǎn)橫坐標(biāo)t取值范圍是-3＜t＜3．