Question

23、已知△ABC，O是△ABC所在平面內(nèi)的一點，連接OB、OC，將∠ABO、∠ACO分別記為∠1、∠2．
（1）如圖（1），當(dāng)點O與點A在直線BC的異側(cè)時，∠1+∠2+∠A+∠O=

360

°；
（2）如圖（2），當(dāng)點O在△ABC的內(nèi)部時，∠1、∠2、∠A、∠O四個角之間滿足什么樣的數(shù)量關(guān)系？請說明你的理由；
（3）當(dāng)點O在△ABC所在平面內(nèi)運動時（點O不在三邊所在的直線上），由于所處的位置不同，∠1、∠2、∠A、∠O四個角之間滿足的數(shù)量關(guān)系還存在著與（1）、（2）中不同的結(jié)論，你能否在圖（3）中畫出一種不同的示意圖，并直接寫出相應(yīng)的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理解答即可；
（2）連接OA，并延長交BC于D點，根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)解答即可；
（3）根據(jù)題意畫出圖形，再寫出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖（1），當(dāng)點O與點A在直線BC的異側(cè)時，
∵AB、OB、OC、AC四條線段正好構(gòu)成四邊形，
∴∠1+∠2+∠A+∠O=360°；

（2）連接OA，并延長交BC于D點，
∵∠BOD是△AOB的外角，∴∠OAB+∠1=∠BOD，
∵∠COD是△AOB的外角，∴∠OAC+∠2=∠COD，
∴∠OAB+∠1+∠OAC+∠2=∠COD+∠BOD，
即∠1+∠2+∠A=∠O．

（3）如圖所示，∠A=∠2+∠O-∠1．
在△ABD中，∠4=180°-∠A-∠1，
∵∠3=∠4，
∴∠3=180°-∠A-∠1，
∴∠3+∠2+∠O=180°，
∴180°-∠A-∠1+∠2+∠O=180°，
整理得，∠A=∠2+∠O-∠1．

點評：本題考查的知識點為：
（1）三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和；
（2）對頂角相等；
（3）任意四邊形的內(nèi)角和為360°．