Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的頂點A在y軸上，BC邊與x軸重合，過點C作AB的垂線分別交AB和y軸于點D，H，AB=HC，線段OB，OC（OB＜OC）的長是方程x²-6x+8=0的根．
（1）求△ABC的面積；
（2）求直線CD的解析式；
（3）點P是線段BC上的一點，點Q是線段OA上的一點，BP=2OQ，直線PQ與直線AB相交于點E，是否存在點P，使tan∠AEP=

1

3

？若存在，直接寫出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先求出方程的根，即可得出OB=2，OC=4，BC=6，利用△ABO≌△CHO，AO=CO=4，再利用S_△ABC=

1

2

BC•AO求解即可．
（2）設(shè)CD的解析式為y=kx+b，把C（4，0），H（0，2）代入求解即可．
（3）作QF⊥AE于F，EM⊥AO于M，設(shè)PB=2t，OQ=t，利用P，Q的坐標(biāo)求出直線PQ的解析式，與直線AB的解析式聯(lián)立，求出點E的橫坐標(biāo)，利用三角形相似求出EA，AF，QF的長，利用tan∠AEP=

1

3

，求出t的值，即可求出點P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵線段OB，OC（OB＜OC）的長是方程x²-6x+8=0的根．解方程x²-6x+8=0的根x₁=2，x₂=4．
∴OB=2，OC=4，
∴B（-2，0），C（4，0），
∴BC=6，
∵CD⊥AB，AO⊥BC，
∴∠DHA+∠DAH=∠ABO+∠DAH=90°，
∴∠DHA=∠ABO，
∵∠DHA=∠CHO，
∴∠ABO=∠CHO，
∵∠BOA=∠HOC=90°，
∴AB=CH，
在△ABO和△CHO中，

∠BOA=∠HOC ∠ABO=∠CHO AB=CH

，
∴△ABO≌△CHO（AAS），
∴AO=CO=4，OH=BO=2，
∴H（0，2），∠DHA=∠CHO，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AO=

1

2

×6×4=12．
（2）設(shè)CD的解析式為y=kx+b，把C（4，0），H（0，2）代入得

0=4k+b 2=b

，解得

k=- 1 2 b=2

∴CD的解析式為y=-

1

2

x+2，
（3）如圖，作QF⊥AE于F，EM⊥AO于M，設(shè)PB=2t，OQ=t

∴P（2t-2，0），Q（O，t）設(shè)直線PQ為：y=kx+b，
b∴

(2t-2)k+b=0 b=t

，
解得

k= t 2-2t b=t

，
∴y=

t

2-2t

x+t，
∵直線AB為y=2x+4，通過解方程組得到E的橫坐標(biāo)為

(4-t)(2-2t)

5t-4

，
∴EM=-

(4-t)(2-2t)

5t-4

，
∵AB=

BO

sin∠BAO

，
∴EA=-

5

•

(4-t)(2-2t)

5t-4

，
同理利用△ABO∽△AQF得到AF=

2 5 (4-t)

5

，QF=

5 (4-t)

5

，
∵tan∠AEP=

1

3

，
∴-

5

•

(4-t)(2-2t)

5t-4

-

2 5 (4-t)

5

=3×

5 (4-t)

5

，

∴t=

2

3

，
∴P（

2

3

，0）．

點評：本題主要考查了一次函數(shù)的綜合題，涉及三角形全等及相似的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是利用利用△ABO∽△AQF得到AF及QF的長．