Question

在平面直角坐標系中，點A和點B分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，且OA、OB分別是關于x的方程x²-7x+12=0的兩個根（OA＜OB）
（1）求直線AB的解析式；
（2）線段AB上一點C使得S_△ACO：S_△BCO=1：2，請求出點C的坐標；
（3）在（2）的條件下，y軸上是否存在一點D，使得以點A、C、O、D為頂點的四邊形是梯形？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題,解二元一次方程組,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,梯形,平行線分線段成比例

專題：計算題

分析：（1）求出一元二次方程的解，得出OA、OB的值，求出A、B的坐標，設直線AB的解析式是：y=kx+b，把A（-3，0）、B（0，4）代入得出方程組，求出方程組的解即可；
（2）根據(jù)△ACO邊AC上的高和△BCO邊BC上的高相等和已知求出

BC

AC

=

2

1

，C作CE⊥y軸于E，CF⊥x軸于F，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出CE、CF的值，即可得出C的坐標；
（3）分為兩種情況：①當CD∥OA，即D在E處時，根據(jù)E的坐標即可求出的坐標；②當D在y軸的負半軸上D′處時，得出

BC

AC

=

BO

OD

，求出OD的值，即可得出D的坐標．

解答：（1）解：x²-7x+12=0，
x₁=3，x₂=4，
∵OA＜OB，
∴OA=3，OB=4，
∴A（-3，0），B（0，4），
設直線AB的解析式是：y=kx+b，
把A（-3，0）、B（0，4）代入得：

0=-3k+b 4=b

，
解得：

k= 4 3 b=4

，
∴直線AB的解析式是y=

4

3

x+4．


（2）解：∵△ACO邊AC上的高和△BCO邊BC上的高相等，
∵S_△ACO：S_△BCO=1：2，
∴

AC

BC

=

1

2

，
過C作CE⊥y軸于E，CF⊥x軸于F，
∴CE∥x軸，CF∥y軸，
∴

CE

OA

=

BC

AB

=

2

2+1

，
∵OA=3，
∴CE=2，
同理CF=

4

3

，
∴點C的坐標是（-2，

4

3

）．

（3）解：存在，
理由是：∵AC和DO相交，
分為兩種情況：①如圖所示：當CD∥OA，即D在E處時，四邊形AODC是梯形，
D的坐標是（0，

4

3

）；
②如圖所示：當D在y軸的負半軸上D′處時，OC∥AD，
∴

BC

AC

=

BO

OD

，
即

2

1

=

4

OD

，
∴OD=2，
D的坐標是（0，-2），
答：在（2）的條件下，y軸上存在一點D，使得以點A、C、O、D為頂點的四邊形是梯形，點D的坐標是（0，

4

3

）或（0，-2）．

點評：本題考查了梯形、平行線分線段成比例定理，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，解二元一次方程組等知識點的應用，主要培養(yǎng)學生的推理能力和計算能力，題目綜合性比較強，是一道具有代表性的題目，分類討論思想的靈活運用．