Question

已知拋物線y=

1

3

x2-

8

3

x+

7

3

與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），C（2，-2）是拋物線外一點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得|PB-PC|值最大，則點(diǎn)P坐標(biāo)是

（4，-6）

．

Answer 1

分析：令y=0，解方程求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線解析式求出對(duì)稱軸解析式，然后找出點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得PC=PC′，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知當(dāng)點(diǎn)P為直線BC′與對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí)，|PB-PC|值最大為BC′的長(zhǎng)，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線BC′的解析式，然后求解即可．

解答：解：令y=0，則

1

3

x²-

8

3

x+

7

3

=0，
整理得，x²-8x+7=0，
解得x₁=1，x₂=7，
∵A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)，
∴點(diǎn)A（1，0），B（7，0），
拋物線對(duì)稱軸為直線x=-

- 8 3

2× 1 3

=4，
∴點(diǎn)C（2，-2）關(guān)于直線x=4的對(duì)稱點(diǎn)C′坐標(biāo)為（6，-2），
根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，PC=PC′，
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，PB-PC′＜BC′，
∴當(dāng)點(diǎn)P、B、C′三點(diǎn)共線時(shí)，|PB-PC|值最大為BC′的長(zhǎng)，
設(shè)直線BC′的解析式為y=kx+b，
則

7k+b=0 6k+b=-2

，
解得

k=2 b=-14

，
所以，直線BC′的解析式為y=2x-14，
∵點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，
∴y=2×4-14=8-14=-6，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，-6）．
故答案為：（4，-6）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要涉及拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求解，拋物線的對(duì)稱軸，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，找出點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，并且判斷出點(diǎn)P在直線BC′是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．