Question

某校九年級(jí)（2）班在測(cè)量校內(nèi)旗桿高度的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，第一組的同學(xué)設(shè)計(jì)了兩種測(cè)量方案，并根據(jù)測(cè)量結(jié)果填寫了如下《數(shù)學(xué)活動(dòng)報(bào)告》中的一部分．

課題	測(cè)量校內(nèi)旗桿高度
目的	運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)及數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題---測(cè)量旗桿高度
方案	方案一	方案二	方案三
示意圖
測(cè)量工具	皮尺、測(cè)角儀	皮尺、測(cè)角儀
測(cè)量數(shù)據(jù)	AM=1.5m，AB=10m ∠α=30°，∠β=60°	AM=1.5m，AB=20m ∠α=30°，∠β=60°
計(jì)算過程（結(jié) 果保留根號(hào)）	解：	解：

（1）請(qǐng)你在方案一二中任選一種方案（多選不加分），根據(jù)方案提供的示意圖及相關(guān)數(shù)據(jù)填寫表中的計(jì)算過程、測(cè)量結(jié)果；
（2）請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的知識(shí)，再設(shè)計(jì)一種不同于方案一、二的測(cè)量方案三，并完成表格中方案三的所有欄目的填寫．（要求：在示意圖中標(biāo)出所需的測(cè)量數(shù)據(jù)長(zhǎng)度用字母a，b，c…表示，角度用字母α，β，γ…表示）

Answer 1

分析：（1）兩個(gè)方案均涉及兩個(gè)直角三角形，根據(jù)題意，利用公共邊即CD的特殊位置，解兩個(gè)直角三角形，可得答案．
（2）要求學(xué)生，自己設(shè)計(jì)方案，答案不唯一，只需能求出數(shù)值，符合要求，易于操作即可．

解答：解：方案一：
解：在Rt△ACD中，AC=DC•cotα
Rt△BCD中，BC=DC•cotβ．
∵AB=AC-BC．∴（cot30°-cot60°）DC=10，(

3

-

3

3

)DC=10，
解得DC=5

3

（m）．
∵AM=CN，∴DN=DC+CN=DC+AM=（5

3

+1.5）（m）
（測(cè)量結(jié)果：）DN=（5

3

+1.5）m．

方案二：
解：在Rt△ACD中，AC=DC•cotα
Rt△BCD中，BC=DC•cotβ．
∵AB=AC+BC，∴（cot30°+cot60°）DC=20，（

3

+

3

3

)DC=20，解得DC=5

3

（m）．
∵AM=CN，∴DN=DC+CN=DC+AM=(5

3

+1.5）（m）（測(cè)量結(jié)果：）DN=（5

3

+1.5）m．

方案三（不惟一）
能正確畫出示意圖
（測(cè)量工具）：皮尺、測(cè)角儀；（測(cè)量數(shù)據(jù)）：AM=a，AC=b，∠DAC=α．
（計(jì)算過程）解：在Rt△ACD中，CD=b•tanα，∵DN=DC+CN，AM=CN，∴DN=b•tanα+a．
（測(cè)量結(jié)果）：DN=b•tanα+a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查仰角的定義，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．