Question

某校九年級(jí)（2）班在測(cè)量校內(nèi)旗桿高度的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，第一組的同學(xué)設(shè)計(jì)了兩種測(cè)量方案，并根據(jù)測(cè)量結(jié)果填寫(xiě)了如下《數(shù)學(xué)活動(dòng)報(bào)告》中的一部分．
數(shù)學(xué)活動(dòng)報(bào)告
活動(dòng)小組：第一組
活動(dòng)地點(diǎn)：學(xué)校操場(chǎng)
活動(dòng)時(shí)間：××××年××月××日年上午9：00
活動(dòng)小組組長(zhǎng)：×××

課題	測(cè)量校內(nèi)旗桿高度
目的	運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)及數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題----測(cè)量旗桿高度
方案	方案一	方案二	方案三
示意圖
測(cè)量工具	皮尺、測(cè)角儀	皮尺、測(cè)角儀
測(cè)量數(shù)據(jù)	AM=1.5m，AB=10m ∠α=30°，∠β=60°	AM=1.5m，AB=20m ∠α=30°，∠β=60°
計(jì)算過(guò)程（結(jié) 果保留根號(hào)）	解：	解：

（1）請(qǐng)你在方案一二中任選一種方案（多選不加分），根據(jù)方案提供的示意圖及相關(guān)數(shù)據(jù)填寫(xiě)表中的計(jì)算過(guò)程、測(cè)量結(jié)果；
（2）請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的知識(shí)，再設(shè)計(jì)一種不同于方案一、二的測(cè)量方案三，并完成表格中方案三的所有欄目的填寫(xiě)．（要求：在示意圖中標(biāo)出所需的測(cè)量數(shù)據(jù)長(zhǎng)度用字母a，b，c…表示，角度用字母α，β，γ…表示）

Answer 1

分析：（1）方案一與方案二均涉及多個(gè)直角三角形，應(yīng)結(jié)合圖形中直角三角形的角邊關(guān)系，構(gòu)造方程關(guān)系式，進(jìn)而可求出答案．
（2）根據(jù)題意，設(shè)計(jì)測(cè)量方法，要求符合三角函數(shù)的定義，且易于操作即可．

解答：解：
方案一（計(jì)算過(guò)程）
在Rt△ACD中，AC=DC•cotαRt△BCD中，BC=DC•cotβ，
∵AB=AC-BC，∴（cot30°-cot60°）DC=10，(

3

-

3

3

)DC=10，
解得DC=5

3

(m)；
∵AM=CN，∴DN=DC+CN=DC+AM=（5

3

+1.5）m；
（測(cè)量結(jié)果）：DN=（5

3

+1.5）m；

方案二（計(jì)算過(guò)程）
在Rt△ACD中，AC=DC÷tanαRt△BCD中，BC=DC÷tanβ，
∵AB=AC+BC，∴(

3

+

3

3

)DC=20，
解得DC=5

3

(m)
∵AM=CN，∴DN=DC+CN=DC+AM=（5

3

+1.5）m；
（測(cè)量結(jié)果）：DN=（5

3

+1.5）m；

方案三（不惟一）
能正確畫(huà)出示意圖
（測(cè)量工具）：皮尺、測(cè)角儀；（測(cè)量數(shù)據(jù)）：AM=a，AC=b，∠DAC=α
（計(jì)算過(guò)程）解：在Rt△ACD中，CD=b•tanα，
∵DN=DC+CN，AM=CN，
∴DN=b•tanα+a；
（測(cè)量結(jié)果）：DN=b•tanα+a．

點(diǎn)評(píng)：【命題意圖】本題是以活動(dòng)報(bào)告的形式呈現(xiàn)，要求學(xué)生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，進(jìn)行有關(guān)測(cè)量方案的設(shè)計(jì)．當(dāng)然，這里所需解決的問(wèn)題并非閱讀方案就能解決的，需要學(xué)生觀察、分析比較，進(jìn)行適度的轉(zhuǎn)化與遷移，從而確定新方案．此外，在幾何背景中需要學(xué)生對(duì)幾何圖形的直觀感受，最終需要學(xué)生進(jìn)行清晰的書(shū)面表達(dá)，因而本題較好地考查了直角三角形的有關(guān)知識(shí)和閱讀理解、幾何直覺(jué)、合情推理、書(shū)面表達(dá)等多種能力，較好的體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的考查．