Question

3．拋物線L：y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2$\sqrt{a}$，$\frac{1}{4}$），直線y=kx+1與y軸交于點(diǎn)F，與拋物線L交于B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）兩點(diǎn)（其中x₁＜x₂）．有直線l：y=-1，垂足為M，連接AF．
（1）請(qǐng)直線寫(xiě)出拋物線L的解析式，并探究AM與AF的數(shù)量關(guān)系．
（2）求證：無(wú)論k為何值，直線l總是與以BC為直徑的圓相切；
（3）將拋物線L和點(diǎn)F都向右平移$\frac{3}{2}$個(gè)單位后，得到拋物線L₁和點(diǎn)F₁，P是拋物線L₁上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PK⊥l于點(diǎn)K，連接PA，求|PA-PK|的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，推出b=c=0，再把點(diǎn)A代入解析式即可解決問(wèn)題．
（2）求出線段BC的長(zhǎng)，圓心的坐標(biāo)即可解決問(wèn)題．
（3）首先證明PF₁=PK，直線AF₁與拋物線交于點(diǎn)P，此時(shí)|PA-PK|的最大，由此即可解決問(wèn)題．

解答 （1）解：∵y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，
∴b=c=0，
∴拋物線解析式為y=ax²，把點(diǎn)A（2$\sqrt{a}$，$\frac{1}{4}$）代入得到a=$±\frac{1}{4}$，
∵a＞0，
∴a=$\frac{1}{4}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{4}$x²．
∵A（1，$\frac{1}{4}$），F(xiàn)（0，1），
∴AF=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{4}-1）^{2}}$=$\frac{5}{4}$，
∵AM=1+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$，
∴AM=AF．
（2）證明：由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\end{array}\right.$消去y得到：x²-4kx-4=0．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，y₁+y₂=4k²+2，y₁y₂=1，
設(shè)邊長(zhǎng)中點(diǎn)為M，則點(diǎn)M坐標(biāo)（2k，2k²+1），
BC=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{16{k}^{2}+16+16{k}^{4}+16{k}^{2}+4-4}$=4k²+4，
∴⊙M的半徑=2k²+2，
∵點(diǎn)M到直線y=-1的距離=2k²+1+1=2k²+2，
∴點(diǎn)M到直線y=-1的距離等于半徑，
∴無(wú)論k為何值，直線l總是與以BC為直徑的圓相切；
（3）如圖，設(shè)Q（m，$\frac{1}{4}$m²）為拋物線y=$\frac{1}{4}$x²上任意一點(diǎn)，作QH⊥直線y=-1于H，
則QF=$\sqrt{{m}^{2}+（1-\frac{1}{4}{m}^{2}）^{2}}$=$\frac{1}{4}$m²+1，QH=$\frac{1}{4}$m²+1，
∴QF=QH，
同理可得PK=PF₁，
由題意拋物線L₁的解析式為y=$\frac{1}{4}$（x-$\frac{3}{2}$）²，點(diǎn)F₁（$\frac{3}{2}$，1），直線AF₁與拋物線交于點(diǎn)P，此時(shí)|PA-PK|的最大，
∵|PA-PK|=|PA-PF₁|=AF₁=$\sqrt{（1-\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{1}{4}-1）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{4}$．
∴|PA-PK|的最大值為$\frac{\sqrt{13}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、圓、兩點(diǎn)間距離公式、一元二次方程、根與系數(shù)關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，根據(jù)兩邊之差小于第三邊確定點(diǎn)P位置，屬于中考?jí)狠S題．