【題目】如圖,直線y= x﹣4分別與x軸、y軸交于點A和點B,點C、D分別是線段OA、AB的中點,點P為OB上一動點,當(dāng)PC+PD取最小值時點P的坐標(biāo)是( )

A.(0,﹣1)
B.(0,﹣2)
C.(0,﹣3)
D.(0,﹣4)

【答案】A
【解析】解:作點D關(guān)于y軸的對稱點D′,連接CD′交y軸于點P,此時PC+PD取最小值,如圖所示.

當(dāng)x=0時,y= x﹣4=﹣4,

∴點B的坐標(biāo)為(0,﹣4);

當(dāng)y= x﹣4=0時,x=6,

∴點A的坐標(biāo)為(6,0).

∵點C、D分別是線段OA、AB的中點,

∴點C的坐標(biāo)為(3,0),點D的坐標(biāo)為(3,﹣2).

∵點D、D′關(guān)于y軸對稱,

∴點D′的坐標(biāo)為(﹣3,﹣2).

(方法一)設(shè)直線CD′的解析式為y=kx+b,

將C(3,0)、D′(﹣3,﹣2)代入y=kx+b,

,解得: ,

∴直線CD′的解析式為y= x﹣1.

當(dāng)x=0時,y= x﹣1=﹣1,

∴點P的坐標(biāo)為(0,﹣1).

(方法二)∵點D、D′關(guān)于y軸對稱,

∴點P為線段CD′的中點,

∴點P的坐標(biāo)為(0,﹣1).

故選A.

【考點精析】關(guān)于本題考查的軸對稱-最短路線問題,需要了解已知起點結(jié)點,求最短路徑;與確定起點相反,已知終點結(jié)點,求最短路徑;已知起點和終點,求兩結(jié)點之間的最短路徑;求圖中所有最短路徑才能得出正確答案.

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1)當(dāng)t為何值時,P,Q兩點同時停止運(yùn)動?

2)設(shè)PQB的面積為S,當(dāng)t為何值時,S取得最大值,并求出最大值;

3)當(dāng)PQB為等腰三角形時,求t的值.

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