【題目】如圖,在四邊形ABCD中,DCAB,DAAB,AD=4cm,DC=5cm,AB=8cm.如果點PB點出發(fā)沿BC方向向點C勻速運動,同時點QA點出發(fā)沿AB方向向點B勻速運動,它們的速度均為1cm/s,當P點到達C點時,兩點同時停止運動,連接PQ,設運動時間為t s,解答下列問題:

1)當t為何值時,P,Q兩點同時停止運動?

2)設PQB的面積為S,當t為何值時,S取得最大值,并求出最大值;

3)當PQB為等腰三角形時,求t的值.

【答案】(1)、5;(2)、;(3)t=s,st=4s

【解析】試題分析:(1)、通過比較線段AB,BC的大小,找出較短的線段,根據(jù)速度公式可以直接求得;(2)、由已知條件,把△PQB的邊QB用含t的代數(shù)式表示出來,三角形的高可由相似三角形的性質(zhì)也用含t的代數(shù)式表示出來,代入三角形的面積公式可得到一個二次函數(shù),即可求出S的最值;(3)、根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和余弦公式列出等式求解,即可求的結論.

試題解析:(1)、作CE⊥ABE, ∵DC∥AB,DA⊥AB四邊形AECD是矩形,

∴AE=CD=5,CE=AD=4, ∴BE=3, ∴BC=5, ∴BCAB

∴PC時,PQ同時停止運動, ∴t=(秒), 即t=5秒時,P,Q兩點同時停止運動.

(2)、由題意知,AQ=BP=t, ∴QB=8﹣t, 作PF⊥QBF,則△BPF△BCE,

,即∴BF=,

∴S=QBPF=×8﹣t=﹣t﹣42+0t≤5),

∵﹣0, ∴S有最大值,當t=4時,S的最大值是;

(3)、∵cos∠B=, PQ=PB時(如圖2所示),則BG=BQ,==,解得t=s,

PQ=BQ時(如圖3/span>所示),則BG=PB,==,解得t=s,

BP=BQ時(如圖4所示),則8﹣t=t, 解得:t=4

綜上所述:當t=s,st=4s時,△PQB為等腰三角形.

練習冊系列答案
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(1)填空:點A坐標為 ;拋物線的解析式為

(2)在圖1中,若點P在線段OC上從點O向點C以1個單位/秒的速度運動,同時,點Q在線段CE上從點C向點E以2個單位/秒的速度運動,當一個點到達終點時,另一個點隨之停止運動.當t為何值時,△PCQ為直角三角形?

(3)在圖2中,若點P在對稱軸上從點A開始向點B以1個單位/秒的速度運動,過點P做PF⊥AB,交AC于點F,過點F作FG⊥AD于點G,交拋物線于點Q,連接AQ,CQ.當t為何值時,△ACQ的面積最大?最大值是多少?

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(1)請補充完成下面的成績統(tǒng)計分析表:

平均分

方差

中位數(shù)

合格率

優(yōu)秀率

甲組

6.9

2.4

91.7%

16.7%

乙組

1.3

83.3%

8.3%


(2)甲組學生說他們的合格率、優(yōu)秀率均高于乙組,所以他們的成績好于乙組.但乙組學生不同意甲組學生的說法,認為他們組的成績要高于甲組.請你給出三條支持乙組學生觀點的理由.

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