Question

【題目】某家電銷售商城電冰箱的銷售價(jià)為每臺2100元，空調(diào)的銷售價(jià)為每臺1750元，每臺電冰箱的進(jìn)價(jià)比每臺空調(diào)的進(jìn)價(jià)多400元，商城用80000元購進(jìn)電冰箱的數(shù)量與用64000元購進(jìn)空調(diào)的數(shù)量相等．

（1）求每臺電冰箱與空調(diào)的進(jìn)價(jià)分別是多少？

（2）現(xiàn)在商城準(zhǔn)備一次購進(jìn)這兩種家電共100臺，設(shè)購進(jìn)電冰箱x臺，這100臺家電的銷售總利潤為y元，要求購進(jìn)空調(diào)數(shù)量不超過電冰箱數(shù)量的2倍，總利潤不低于13000元，請分析合理的方案共有多少種？并確定獲利最大的方案以及最大利潤；

（3）實(shí)際進(jìn)貨時(shí)，廠家對電冰箱出廠價(jià)下調(diào)k（0＜k＜100）元，若商店保持這兩種家電的售價(jià)不變，請你根據(jù)以上信息及（2）問中條件，設(shè)計(jì)出使這100臺家電銷售總利潤最大的進(jìn)貨方案．

Answer 1

【答案】（1）每臺空調(diào)的進(jìn)價(jià)為1600元，則每臺電冰箱的進(jìn)價(jià)為2000元；

（2）合理的方案共有7種；當(dāng)購進(jìn)電冰箱34臺，空調(diào)66臺獲利最大，最大利潤為13300元；

（3）當(dāng)50＜k＜100時(shí)，購進(jìn)電冰箱40臺，空調(diào)60臺銷售總利潤最大；當(dāng)0＜k＜50時(shí)，購進(jìn)電冰箱34臺，空調(diào)66臺銷售總利潤最大；當(dāng)k=50時(shí)，每種進(jìn)貨方案的總利潤都一樣．

【解析】

試題分析：（1）由題意設(shè)每臺空調(diào)的進(jìn)價(jià)為x元，則每臺電冰箱的進(jìn)價(jià)為（x+400）元，，根據(jù)商城用80000元購進(jìn)電冰箱的數(shù)量與用64000元購進(jìn)空調(diào)的數(shù)量相等列方程，解方程.

（2）題目有三個(gè)要求，總利潤不低于13000元，購進(jìn)空調(diào)數(shù)量不超過電冰箱數(shù)量的2倍，和現(xiàn)實(shí)意義冰箱空調(diào)的數(shù)量必須取整數(shù)，根據(jù)這三個(gè)要求，逐一考慮，利潤=單件的利潤（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）×數(shù)量，總利潤=電冰箱的利潤+空調(diào)的利潤，得到y(tǒng)關(guān)于x的一次函數(shù)，根據(jù)第二個(gè)要求列出不等式，在一二兩個(gè)要求的范圍內(nèi)找到整數(shù)解.

（3）電冰箱出產(chǎn)價(jià)下調(diào)的k元，就是每臺電冰箱利潤增加k元，依據(jù)題意求出總利潤y關(guān)于x的一元一次函數(shù)，由函數(shù)解析式及一次函數(shù)的性質(zhì)可知，總利潤的最大值由k-50的正負(fù)性決定，在此分三種情況討論.

試題解析：（1）設(shè)每臺空調(diào)的進(jìn)價(jià)為x元，則每臺電冰箱的進(jìn)價(jià)為（x+400）元，根據(jù)題意得：，解得：x=1600，經(jīng)檢驗(yàn)，x=1600是原方程的解，x+400=1600+400=2000，

答：每臺空調(diào)的進(jìn)價(jià)為1600元，則每臺電冰箱的進(jìn)價(jià)為2000元．

（2）設(shè)購進(jìn)電冰箱x臺，這100臺家電的銷售總利潤為y元，則y=（2100﹣2000）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=﹣50x+15000，根據(jù)題意得：，解得：，∵x為正整數(shù)，∴x=34，35，36，37，38，39，40，∴合理的方案共有7種，即①電冰箱34臺，空調(diào)66臺；②電冰箱35臺，空調(diào)65臺；③電冰箱36臺，空調(diào)64臺；④電冰箱37臺，空調(diào)63臺；⑤電冰箱38臺，空調(diào)62臺；⑥電冰箱39臺，空調(diào)61臺；⑦電冰箱40臺，空調(diào)60臺；

∵y=﹣50x+15000，k=﹣50＜0，∴y隨x的增大而減小，

∴當(dāng)x=34時(shí)，y有最大值，最大值為：﹣50×34+15000=13300（元），

答：當(dāng)購進(jìn)電冰箱34臺，空調(diào)66臺獲利最大，最大利潤為13300元．

（3）當(dāng)廠家對電冰箱出廠價(jià)下調(diào)k（0＜k＜100）元，若商店保持這兩種家電的售價(jià)不變，

則利潤y=（2100﹣2000+k）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=（k﹣50）x+15000，

當(dāng)k﹣50＞0，即50＜k＜100時(shí)，y隨x的增大而增大，∵，∴當(dāng)x=40時(shí)，這100臺家電銷售總利潤最大，即購進(jìn)電冰箱40臺，空調(diào)60臺；

當(dāng)k﹣50＜0，即0＜k＜50時(shí)，y隨x的增大而減小，∵，∴當(dāng)x=34時(shí)，這100臺家電銷售總利潤最大，即購進(jìn)電冰箱34臺，空調(diào)66臺；

當(dāng)k=50時(shí)，每種進(jìn)貨方案的總利潤都一樣；

答：當(dāng)50＜k＜100時(shí)，購進(jìn)電冰箱40臺，空調(diào)60臺銷售總利潤最大；當(dāng)0＜k＜50時(shí)，購進(jìn)電冰箱34臺，空調(diào)66臺銷售總利潤最大；當(dāng)k=50時(shí)，每種進(jìn)貨方案的總利潤都一樣．