Question

【題目】(1)請(qǐng)?jiān)跈M線上填寫(xiě)合適的內(nèi)容，完成下面的證明：

如圖①如果AB∥CD，求證：∠APC＝∠A+∠C．

證明：過(guò)P作PM∥AB．

所以∠A＝∠APM，(　 　)

因?yàn)?/span>PM∥AB，AB∥CD(已知)

所以∠C＝　 　(　 　)

因?yàn)椤?/span>APC＝∠APM+∠CPM

所以∠APC＝∠A+∠C(等量代換)

(2)如圖②，AB∥CD，根據(jù)上面的推理方法，直接寫(xiě)出∠A+∠P+∠Q+∠C＝　 　．

(3)如圖③，AB∥CD，若∠ABP＝x，∠BPQ＝y，∠PQC＝z，∠QCD＝m，則m＝　 　(用x、y、z表示)

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)540°；(3)x﹣y+z．

【解析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PM∥AB，過(guò)點(diǎn)Q作QN∥CD，將∠A、∠P、∠Q、∠C劃分為6個(gè)3對(duì)同旁?xún)?nèi)角，由平行線的性質(zhì)可得；

（3）延長(zhǎng)PQ交CD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)QP交AB于點(diǎn)F，可得∠BFP=∠CEQ，根據(jù)三角形外角定理知∠BFP=∠BPQ-∠B、∠CEQ=∠PQC-∠C，整理后即可得．

(1)過(guò)P作PM∥AB，

所以∠A＝∠APM，(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)

因?yàn)?/span> PM∥AB，AB∥CD (已知 )

所以 PM∥CD，

所以∠C＝∠CPM，(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)

因?yàn)椤?/span>APC＝∠APM+∠CPM

所以∠APC＝∠A+∠C (等量代換 )，

故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠CPM；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．

(2)如圖②，過(guò)點(diǎn)P作PM∥AB，過(guò)點(diǎn)Q作QN∥CD，

∴∠A+∠APM＝180°，∠C+∠CQN＝180°，

又∵AB∥CD，

∴PM∥QN，

∴∠MPQ+∠NQP＝180°，

則∠A+∠APQ+∠CQP+∠C＝∠A+∠APM+∠MPQ+∠NQP+∠CQN+∠C＝540°，

故答案為：540°．

(3)如圖③，延長(zhǎng)PQ交CD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)QP交AB于點(diǎn)F，

∵AB∥CD，

∴∠BFP＝∠CEQ，

又∵∠BPQ＝∠BFP+∠B，∠PQC＝∠CEQ+∠C，

即∠BFP＝∠BPQ﹣∠B，∠CEQ＝∠PQC﹣∠C，

∴∠BPQ﹣∠B＝∠PQC﹣∠C，即y﹣x＝z﹣m，

∴m＝x﹣y+z，

故答案為：x﹣y+z．