Question

如圖，⊙C與x軸相切，點C的坐標為（1，-3）．點P在x軸上滑動，當半徑為2的⊙P與⊙C外切時，點P的橫坐標為

 

．

Answer 1

考點：相切兩圓的性質,坐標與圖形性質

專題：計算題,壓軸題,分類討論

分析：分兩種情況考慮：當圓P與圓C相切，且P點在原點左側時，如圖所示，連接CQ，CP，由圓C與x軸相切，利用切線的性質得到CQ垂直于x軸，由C的坐標得到CQ及OQ的長，同時由兩圓外切，得到圓心距等于兩半徑相加，根據圓P與圓C的半徑求出PC的長，在直角三角PQC中，由QC與PC的長，利用勾股定理求出PQ的長，再由PQ-OQ求出OP的長，由P在x軸負半軸上，寫出此時P的坐標即可；當圓P與圓C外切，且P點在原點右側時，如圖所示，連接CD，CP，由圓C與x軸相切，利用切線的性質得到CD垂直于x軸，由C的坐標得到CD及OD的長，同時由兩圓外切，得到圓心距等于兩半徑相加，根據圓P與圓C的半徑求出PC的長，在直角三角形PCD中，由PC及CD的長，利用勾股定理求出PD的長，再由OQ+PQ求出OP的長，根據P點在x軸的正半軸上，寫出此時P的坐標即可，綜上，得到所有滿足題意的P的坐標．

解答：解：當⊙P與⊙C外切，且P在原點左邊時，如圖所示：

連接CQ，CP，由⊙C與x軸相切，得到CQ⊥x軸，
∵C坐標為（1，-3），
∴CQ=3，即⊙C半徑為3，OQ=1，
∵⊙P與⊙C外切，且⊙P半徑為2，
∴PC=2+3=5，
在Rt△PQC中，根據勾股定理得：PC²=PQ²+CQ²，
即5²=PQ²+3²，解得：PQ=4，
∴OP=PQ-OQ=4-1=3，
∴P的坐標為（-3，0）；
當⊙P與⊙C外切，且P在原點右邊時，如圖所示：

連接OC，CD，由⊙C與x軸相切，得到CD⊥x軸，
∵C坐標為（1，-3），
∴CD=3，即⊙C半徑為3，OD=1，
∵⊙P與⊙C外切，且⊙P半徑為2，
∴PC=2+3=5，
在Rt△PDC中，根據勾股定理得：PC²=PD²+CD²，
即5²=PD²+3²，解得：PD=4，
∴OP=PD+OD=4+1=5，
∴P的坐標為（5，0），
綜上，當⊙P與⊙C外切時，點P的橫坐標為-3或5．
故答案為：-3或5

點評：此題考查了相切兩圓的性質，切線的性質，勾股定理，以及坐標與圖形性質，利用了分類討論的數(shù)學思想，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．