Question

如圖，平行四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別在AB、BC、CD、AD邊上且AE=CG，AH=CF．
求證：四邊形EFGH是平行四邊形．

Answer 1

證明：在平行四邊形ABCD中，∠A=∠C（平行四邊形的對邊相等）；
又∵AE=CG，AH=CF（已知），
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH=GF（全等三角形的對應(yīng)邊相等）；
在平行四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC（平行四邊形的對邊相等），
∴AB-AE=CD-CG，AD-AH=BC-CF，
即BE=DG，DH=BF．
又∵在平行四邊形ABCD中，∠B=∠D，
∴△BEF≌△DGH；
∴GH=EF（全等三角形的對應(yīng)邊相等）；
∴四邊形EFGH是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）．
分析：易證得△AEH≌△CGF，從而證得對應(yīng)邊BE=DG、DH=BF．故有△BEF≌△DGH，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形而得證．
點評：本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)．平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時要認真領(lǐng)會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．