Question

4．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，3），直線l平行于對(duì)角線AC，直線l從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸的正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)，與矩形OABC的兩邊分別交于點(diǎn)M，N，當(dāng)MN=$\frac{1}{2}$AC時(shí)，直線l運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是（　�。�

• A． 2秒
• B． 6秒
• C． 2秒或6秒
• D． 4秒或8秒

Answer 1

分析 分為兩種情況：①當(dāng)M、N分別在OA、OC上時(shí)，可證明△OMN∽△OAC，由題意可求得OM的長(zhǎng)，即可求得t的值；
②當(dāng)M、N分別在AB、BC上時(shí)，可證明△BMN∽△BAC，由題意可求得BM的長(zhǎng)，即可由相似三角形的性質(zhì)求得t的值，綜合以上兩種情況即是要求的t值．

解答 解：x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，
設(shè)直線m運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，
分為兩種情況：
①當(dāng)M、N分別在OA、OC上時(shí)，如圖1所示：
∵直線m平行于對(duì)角線AC
∴△OMN∽△OAC，
∴$\frac{MN}{AC}=\frac{OM}{OC}$=$\frac{t}{4}$=$\frac{1}{2}$，
解得：t=2；
②當(dāng)M、N分別在AB、BC上時(shí)，如圖2所示：
∵直線m平行于對(duì)角線AC
∴△BMN∽△BAC，
∴$\frac{MN}{AC}$=$\frac{BM}{BC}$=$\frac{t-4}{4}$=$\frac{1}{2}$，
解得：t=6．
綜上所述，當(dāng)t=2秒或6秒時(shí)，MN=$\frac{1}{2}$AC；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理；證明三角形相似得出比例式是解決問題的關(guān)鍵；注意分類討論．