Question

6．如圖，點E是四邊形ABCD的對角線BD上的一點，∠BAE=∠CBD=∠DAC．
（1）求證：DE•AB=BC•AE；
（2）求證：∠AED+∠ADC=180°．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到∠BAC=∠EAD，根據(jù)三角形額外角的性質(zhì)得到∠ABC=∠AED，推出△ABC∽△AED，根據(jù)根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得到結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，推出△ABE∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠AEB=∠ADC，等量代換即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC，
即∠BAC=∠EAD，
∵∠ABC=∠ABE+∠CBD，
∠AED=∠ABE+∠BAE，
∵∠CBD=∠BAE，
∴∠ABC=∠AED，
∴△ABC∽△AED，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{DE}$，
∴DE•AB=BC•AE；

（2）∵△ABC∽△AED，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$，即$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，
∵∠BAE=∠DAC
∴△ABE∽△ACD，
∴∠AEB=∠ADC，
∵∠AED+∠AEB=180°，
∴∠AED+∠ADC=180°．

點評 本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，鄰補角的定義，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．