Question

如圖，已知A（1，0）和點B（-3，0），點C在y軸負半軸上，AC⊥BC，經過A，B，C三點的拋物線的對稱軸分別交x軸、直線BC、直線AC于點F、E、M，
（1）求經過A，B，C三點的拋物線的解析式；
（2）求線段EM繞點E順時針旋轉90°得到線段EM′，求sin∠FM′E的值；
（3）將線段BC繞點C旋轉，與拋物線的另一交點為N，若△NCM是等腰三角形，求出點N的坐標．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）根據射影定理求得OC的長，進而求得C的坐標，然后根據待定系數法即可求得；
（2）先根據點的坐標求得直線AC、BC的解析式，然后求EM的長度，進而求得EM′=EM，G根據勾股定理求得E′F的長，最后解直角三角函數即可求得；
（3）先根據拋物線的解析式，設出N點的坐標，然后求得MN、NC、MC的平方，分三種情況分別列出等式，解這個等式即可．

解答：解：∵A（1，0）和點B（-3，0），
∴OA=1，OB=3，
∵AC⊥BC，
∴OC²=OA•OB=3，
∴OC=

3

，
∴C（0，-

3

），
設拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，
則

a+b+c=0 9a-3b+c=0 c=- 3

，
 解得

a= 3 3 b= 2 3 3 c=- 3

，
∴拋物線的解析式為：y=

3

3

x²+

2 3

3

x-

3

；

（2）如圖，∵A（1，0），B（-3，0），C（0，-

3

），
∴直線AC的解析式為：y=

3

x-

3

；直線BC的解析式為：y=-

3

3

x-

3

；
∵拋物線的對稱軸x=

-3+1

2

=-1，
∴M（-1，-2

3

），E（-1，-

2 3

3

），
∴EM=

4 3

3

∵線段EM繞點E順時針旋轉90°得到線段EM′，
∴M′（-1-

4

3

3

，-

2 3

3

）
∴EM′=EM=

4 3

3

，
∵EF=

2 3

3

，
∴M′F=

2 15

3

∴sin∠FM′E=

EF

M′F

=

2 3 3

2 5 3

=

5

5

；

（3）設N（m，

3

3

m²+

2 3

3

m-

3

），
∵M（-1，-2

3

），C（0，-

3

），
∴MN²=（m+1）²+（

3

3

m²+

2 3

3

m+

3

）²，NC²=m²+（

3

3

m²+

2 3

3

m）²，MC²=1+3=4，
當MN=NC時，則（m+1）²+（

3

3

m²+

2 3

3

m+

3

）²=m²+（

3

3

m²+

2 3

3

m）²，
解得：m=-1，m=-2，
∴N（-1，-

4 3

3

），N（-2，-

3

），
當MN=MC時，則（m+1）²+（

3

3

m²+

2 3

3

m+

3

）²=4
解得：m=0，m=-2，
∴N（0，-

3

），
∴不存在N點，
當NC=MC時，則m²+（

3

3

m²+

2 3

3

m）²=4，
整理得：m²+2m+3=

m

6

，
解得：m=1，
∴N（1，0），與A重合，構不成三角形；
∴將線段BC繞點C旋轉，與拋物線的另一交點為N，若△NCM是等腰三角形，點N的坐標（-1，-

4 3

3

）或（-2，-

3

）．

點評：本題考查了直角三角形的射影定理，待定系數法求解析式，勾股定理的應用等，設出N的坐標求得線段的平方是本題的關鍵．