Question

如圖，我們把依次連接任意四邊形ABCD各邊中點(diǎn)所得四邊形EFGH叫中點(diǎn)四邊形．
（1）若四邊形ABCD是菱形，則它的中點(diǎn)四邊形EFGH一定是

 

；
A．菱形   B．矩形   C．正方形   D．梯形
（2）若四邊形ABCD的面積為S₁，中點(diǎn)四邊形EFGH的面積記為S₂，則S₁與S₂的數(shù)量關(guān)系是S₁=

 

S₂；
（3）在四邊形ABCD中，沿中點(diǎn)四邊形EFGH的其中三邊剪開，可得三個小三角形，將這三個小三角形與原圖中未剪開的小三角形拼接成一個平行四邊形，請畫出一種拼接示意圖，并寫出對應(yīng)全等的三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：中點(diǎn)四邊形,作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖

專題：探究型

分析：（1）連接AC、BD．先根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=

1

2

BD，EF=HG=

1

2

AC，則四邊形EFGH為平行四邊形，再由菱形的對角線互相垂直，得出EF⊥FG，從而證明?EFGH是矩形；
（2）由E為AB中點(diǎn)，且EF平行于AC，EH平行于BD，得到△BEK與△ABM相似，△AEN與△ABM相似，利用面積之比等于相似比的平方，得到△EBK面積與△ABM面積之比為1：4，且△AEN與△EBK面積相等，進(jìn)而確定出四邊形EKMN面積為△ABM的一半，同理得到四邊形MKFP面積為△MBC面積的一半，四邊形QMPG面積為△DMC面積的一半，四邊形MNHQ面積為△ADM面積的一半，四個四邊形面積之和即為四個三角形面積之和的一半，即為四邊形ABCD面積的一半；
（3）利用中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)得出拼接方法，進(jìn)而得出全等三角形．

解答：解：（1）如圖1，連接AC、BD．
∵E、F、G、H分別是菱形ABCD各邊的中點(diǎn)，
∴EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=

1

2

BD，EF=HG=

1

2

AC，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥FG，
∴?EFGH是矩形；
故選：B．

（2）如圖2，設(shè)AC與EH、FG分別交于點(diǎn)N、P，BD與EF、HG分別交于點(diǎn)K、Q，
∵E是AB的中點(diǎn)，EF∥AC，EH∥BD，
∴△EBK∽△ABM，△AEN∽△EBK，
∴

S△EBK

S△ABM

=

1

4

，S_△AEN=S_△EBK，
∴

S四邊形EKMN

S△ABM

=

1

2

，同理可得

S四邊形KFPM

S△BCM

=

1

2

，

S四邊形QGPM

S△DCM

=

1

2

，

S四邊形HQMN

S△DAM

=

1

2

，
∴

S四邊形EFGH

S四邊形ABCD

=

1

2

，
∴四邊形ABCD的面積為S₁，中點(diǎn)四邊形EFGH的面積記為S₂，則S₁與S₂的數(shù)量關(guān)系是S₁=2S₂；

（3）如圖3，四邊形NEHM是平行四邊形；
△MAH≌△GDH，△NAE≌△FBE，△CFG≌△ANM．

點(diǎn)評：此題主要考查了中點(diǎn)四邊形以及相似三角形的判定與性質(zhì)和矩形的判定以及菱形的性質(zhì)等知識，利用三角形中位線的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．