Question

【題目】如圖，點(diǎn) C、D 在線段 AB 上，△PCD 是等邊三角形，∠APB＝120°

(1) 求證：△ACP∽△PDB

(2) 若 PC＝3，AC＝1，求 BD 的長(zhǎng)

Answer 1

【答案】(1)見詳解；(2) .

【解析】

(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，于是推出∠ACP=∠PDB=120°，等量代換得到∠BPD=∠CAP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證；

(2) 由相似三角形的性質(zhì)得到，計(jì)算即可求出BD的長(zhǎng).

(1) ∵△PCD是等邊三角形，

∴∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，

∴∠ACP=∠PDB=120°，

∵∠APB=120°，

∴∠APC+∠BPD=60°，

∵∠CAP+∠APC=60°，

∴∠BPD=∠CAP，

∴△ACP∽△PDB；

(2) ∵△PCD 是等邊三角形，

∴PD=PC=3，

∵△ACP∽△PDB，

∴，即.