Question

4．已知直線y=kx+b與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)交于一象限內(nèi)的P（$\frac{1}{2}$，n），Q（4，m）兩點(diǎn)，且tan∠BOP=$\frac{1}{16}$：
（1）求反比例函數(shù)和直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求△OPQ的面積．

Answer 1

分析 （1）過P作PC⊥y軸于C，由P（$\frac{1}{2}$，n），得到OC=n，PC=$\frac{1}{2}$，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到P（$\frac{1}{2}$，8），于是得到反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{4}{x}$，Q（4，1），解方程組即可得到直線的函數(shù)表達(dá)式為y=-2x+9；
（2）過Q作OD⊥y軸于D，于是得到S_△POQ=S_{四邊形PCDQ}=$\frac{63}{4}$．

解答 解：（1）過P作PC⊥y軸于C，
∵P（$\frac{1}{2}$，n），
∴OC=n，PC=$\frac{1}{2}$，
∵tan∠BOP=$\frac{1}{16}$，
∴n=8，
∴P（$\frac{1}{2}$，8），
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{a}{x}$，
∴a=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{4}{x}$，
∴Q（4，1），
把P（$\frac{1}{2}$，8），Q（4，1）代入y=kx+b中得$\left\{\begin{array}{l}{8=\frac{1}{2}k+b}\\{1=4k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=9}\end{array}\right.$，
∴直線的函數(shù)表達(dá)式為y=-2x+9；

（2）過Q作OD⊥y軸于D，
則S_△POQ=S_{四邊形PCDQ}=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$+4）×（8-1）=$\frac{63}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，正切函數(shù)的定義，難度適中，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．