Question

如圖，拋物線y=－x+4x+5交x軸于A、B（以A左B右)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.

(1)求直線BC的解析式；
(2)點(diǎn)P為拋物線第一象限函數(shù)圖象上一點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，△PBC的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；
(3)在(2)的條件下，連接AP，拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得線段PA被BC平分，如果不存在，請(qǐng)說明理由；如果存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

(1) y=   (2) S=   (3)存在，P(2,9)或P(3,8)

試題分析：（1）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再令x=0求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)直線BC解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；
（2）過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，交BC于F，根據(jù)拋物線和直線BC的解析式表示出PF，再根據(jù)S_△PBC=S_△PCF+S_△PBF整理即可得解；
（3）設(shè)AP、BC的交點(diǎn)為E，過點(diǎn)E作EG⊥x軸于G，根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行可得EG∥PH，然后判斷出△AGE和△AHP相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可表示出EG、HG，然后表示出BG，根據(jù)OB=OC可得∠OCB=∠OBC=45°，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得EG=BG，然后列出方程求出m的值，再根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，即可得解．
試題解析：（1）當(dāng)y=0時(shí)，x₁=5，x₂=－1，
∵A左B右，
∴A(-1，0),B(5，O)
當(dāng)x=0時(shí)，y=5，
∴C（0,5），
設(shè)直線BC解析式為y=kx+b,
∴
∴
∴直線BC解析式為:y=；
(2)作PH⊥x軸于H，交BC于點(diǎn)F，

P(m，-m²+4m+5)，F(xiàn)(m,-m+5)
PF=-m²+5m ，
S_△PBC=S_△PCF+S_△PBF
S=
∴S=；
(3)存在點(diǎn)P，
作EG⊥AB于G,PH⊥AB于H，

∴EG∥PH，
∴△AGE∽△AHP，
∴，
∵P(m，-m²+4m+5)，
EG=，
AH=m-(-1)=m+1，   GH=，
HB="5-m" ，GB=，
∵OC=OB=5，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴EG=BG，
∴=，
∴m₁=2   m₂=3，
當(dāng)m=2時(shí)，P(2,9)，
當(dāng)m=3時(shí)，P(3,8)，
∴存在這樣的點(diǎn)P, 使得線段PA被BC平分,P(2,9)或P(3,8)．