Question

1．平面上，矩形ABCD與直徑為QP的半圓K如圖（1）擺放，分別延長(zhǎng)DA和QP交于點(diǎn)O，且∠DOQ=60°，OQ=3，OP=2，OA=AB=1．將矩形ABCD和線段OA位置固定，線段OQ帶著半圓一起繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤60°）．
（1）當(dāng)α=0°，點(diǎn)P在直線AB上（填“在”或“不在”）．求當(dāng)α=15°時(shí)，OQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)B；
（2）如圖（2），AD=2，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在BC邊上時(shí)，求陰影部分的面積．
（3）如圖（3），AD=2，當(dāng)半圓K（弧PQ）與矩形的任一邊所在的直線相切時(shí)，旋轉(zhuǎn)停止．M為半圓K（弧PQ）上一動(dòng)點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，A與M的距離為d，求d的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）如圖1所示，過(guò)點(diǎn)P作PA′⊥OD，垂足為A′．在△A′OP中利用利用特殊銳角三角函數(shù)可求得OA′=1，由OA=1，從而可求得點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合，根據(jù)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直可知點(diǎn)P在AB上；如圖2所示：由△ABO為等腰直角三角形可知∠AOB=45°，從而可求得∠QOQ′=15°；
（2）如圖3所示：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OD，垂足為E，過(guò)點(diǎn)K作KG⊥PF，連接KF．依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)可知：∠POE=30°．由平行線的性質(zhì)可知∠AOP=∠OPB=30°，于是得到∠FPQ=30°，由圓周角定理可知∠FKQ=60°，然后依據(jù)扇形的面積公式可求得扇形KKQ的面積=$\frac{1}{6}π×（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{π}{24}$，然后利用特殊銳角三角函數(shù)求得GK和FG的長(zhǎng)，從而可求得△FPK的面積=$\frac{\sqrt{3}}{16}$；
（3）如圖4所示：連接AQ，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AB，垂足為E．由∠AOQ=60°，可知∠EQO=60°．由特殊銳角三角函數(shù)可知QE=$\frac{1}{2}$PQ=$\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{2}$，AE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，在Rt△AQE中由勾股定理得AQ=$\sqrt{7}$．如圖5所示：F為半圓與CB的切線，延長(zhǎng)KF交OD于G，連接AK交半圓與點(diǎn)E．由切線的性質(zhì)可知：KG⊥OD，故此可知：GK=1.5，在Rt△OGK中，由勾股定理可知OG=2，于是得到AG=1，在Rt△AKG中，由勾股定理可知AK=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，AE=AK-EK=$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$．從而可得到$\frac{\sqrt{13}-1}{2}≤d≤\sqrt{7}$．

解答 解：（1）如圖1所示，過(guò)點(diǎn)P作PA′⊥OD，垂足為A′．

∵PA′⊥OD，
∴∠PA′O=90°．
∵∠POA′=60°，
∴OA′=cos60°•OP=$\frac{1}{2}OP$=$\frac{1}{2}×$2=1．
又∵OA=1，
∴點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合．
∵PA⊥OD，AB⊥OD，
∴點(diǎn)P在直線AB上．
如圖2所示：

∵AB=OA，∠OAB=90°，
∴∠AOB=45°．
∵∠AOP=60°，
∴∠QOQ′=60°-45°=15°．
故答案為：在；15°．
（2）如圖3所示：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OD，垂足為E，過(guò)點(diǎn)K作KG⊥PF，連接KF．

∵PE⊥OD，
∴∠PEO=90°．
∵$\frac{EP}{OP}=\frac{1}{2}$，
∴∠POE=30°．
∵OD∥BC，
∴∠AOP=∠OPB=30°．
∴∠FPQ=30°．
∴∠FKQ=60°．
∴扇形KKQ的面積=$\frac{1}{6}π×（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{π}{24}$．
∵KP=$\frac{1}{2}$，∠GPK=30°，
∴KG=$\frac{1}{4}$，GP=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴FP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴△FPK的面積=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{16}$．
∴陰影部分的面積=$\frac{\sqrt{3}}{16}+\frac{π}{24}$．
（3）如圖4所示：連接AQ，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AB，垂足為E．

∵AB⊥OD，
∴∠BAO=90°．
又∵∠AOQ=60°，
∴∠APO=30°．
∴∠QPE=30°．
∴QE=$\frac{1}{2}$PQ=$\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{2}$，PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}PQ$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}OP$=$\sqrt{3}$．
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}QE+\frac{\sqrt{3}}{2}AO$=$\frac{\sqrt{3}}{2}×（1+\frac{1}{2}）$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
∴AQ=$\sqrt{A{E}^{2}+Q{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{7}$．
如圖5所示：F為半圓與CB的切線，延長(zhǎng)KF交OD于G，連接AK交半圓與點(diǎn)E．

∵半圓與BC相切，切點(diǎn)為F，
∴KF⊥BC．
∴KG⊥OD．
∴GK=GF+FK=1+0.5=1.5．
在Rt△OGK中，OG=$\sqrt{O{K}^{2}-G{K}^{2}}$=2．
∵OA=1，
∴AG=1．
在Rt△AKG中，AK=$\sqrt{G{K}^{2}+A{G}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
∴AE=AK-EK=$\frac{\sqrt{13}}{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$．
∴$\frac{\sqrt{13}-1}{2}≤d≤\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用、特殊銳角三角函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理、切線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理、扇形的面積公式，根據(jù)題意畫出d取值最大值和最小值時(shí)刻的圖形是解題的關(guān)鍵．