【題目】對于平面內(nèi)的點與射線,射線上與點距離最近的點與端點的距離叫做點關(guān)于射線的側(cè)邊距,記作.
(1)在菱形中,,.則__________,__________.
(2)在中,若,則是否必為正方形,請說明理由;
(3)如圖,已知點是射線上一點,,以為半徑畫,點是上任意點,為線段的中點.
①若,則__________;
②設(shè),,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量的取值范圍.
【答案】(1);0;(2)不一定為正方形,理由見解析;(3)①0;②關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式是
【解析】
(1)根據(jù)題意畫圖,再根據(jù)定義進(jìn)行判定則問題可解;
(2)根據(jù)定義舉出反例即可;
(3)①根據(jù)已知條件,利用三角形中位線性質(zhì)及銳角三角函數(shù)知識,可求出,,從而得到,根據(jù)定義解決問題;
②根據(jù)定義,找到與x、y對應(yīng)線段,通過分類討論,利用相似三角形的知識構(gòu)造等式,則問題可解.
(1);0.
如圖,過點B作BE⊥OA于點E,由,
可得, ,則
則
由于射線上與點C距離最近的點是O點本身,則0
故答案為:;0;
(2)解:不一定為正方形.
理由:如圖1,過點作交于點,過點作交于點,
∴,,
∵,
∴,
即點、重合,且、、共線,
∴,
又∵四邊形是平行四邊形,
∴四邊形是菱形.
(3)①如圖,設(shè)點DF⊥OC于點F,過點B作BE⊥OC于E
由已知,OF=
∵
∴
∵為線段的中點,BE∥DF
∴EF=FC,則EO=1
∴BE=
Rt中,
∴,
同理,
∴
則可知,0
故答案為:0
②圓是軸對稱圖形,故只考慮點在直線上及上方部分的情形.
如圖2,過點作交于點,過點作交于點,連接.
(。┊(dāng)時,如圖,過點作交于點,過點作
交于點,過點作交于點,連接.
∴,,
∴
∴
∵為線段的中點
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵為線段的中點,
∴是的中位線,
∴,
∴
∴
∴,又∵
∴,即.
(ⅱ)當(dāng)時,
射線上與點距離最近的點是點,此時.
當(dāng)點在線段上時,
當(dāng)點在線段的反向延長線上時,
當(dāng)時,如圖3,,,
∴,,∴
綜上所述,關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式是
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【題目】某商場將每件進(jìn)價為80元的某種商品原來按每件100元出售,一天可售出100件.后來經(jīng)過市場調(diào)查,發(fā)現(xiàn)這種商品單價每降低1元,其銷量可增加10件.
(1)求商場經(jīng)營該商品原來一天可獲利潤多少元?
(2)設(shè)后來該商品每件降價x元,,商場一天可獲利潤y元.
①若商場經(jīng)營該商品一天要獲利潤2160元,則每件商品應(yīng)降價多少元?
②求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,結(jié)合題意寫出當(dāng)x取何值時,商場獲利潤不少于2160元?
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【題目】如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,直徑AB垂直于弦CG,垂足為點H,過點C作ED⊥CG,交⊙O于點E,且∠CBD=∠A,連接BE,交CG于點F.
(1)求證:BD是⊙O的切線;
(2)求證:BC2=BF·BE;
(3)若CG=8,AB=10,求sin E的值.
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【題目】如圖,在中,,,,半徑為2的從點開始(如圖①)沿直線向右滾動,滾動時始終與直線相切(切點為),當(dāng)與只有一個公共點時滾動停止.作于點.
(1)圖①中,在邊上截得的弦長______;
(2)當(dāng)圓心落在上時,如圖②,判斷與的位置關(guān)系,請說明理由;
(3)在滾動過程中,線段的長度隨之變化,設(shè),,求出與之間的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出的取值范圍.
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【題目】如圖,矩形紙片中,,,是邊上一點,連接.折疊該紙片,使點落在上的點,并使折痕經(jīng)過點,得到折痕,點在上.若,則的長為( )
A.B.4C.3D.2
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【題目】如圖,ABCD的對角線AC,BD相交于點O.E,F(xiàn)是AC上的兩點,并且AE=CF,連接DE,BF.
(1)求證:△DOE≌△BOF;
(2)若BD=EF,連接DE,BF.判斷四邊形EBFD的形狀,并說明理由.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線分別與x軸、y軸相交于點B、C,經(jīng)過點B、C的拋物線與x軸的另一個交點為A(-1,0).
(1)求這個拋物線的表達(dá)式;
(2)已知點D在拋物線上,且橫坐標(biāo)為2,求出△BCD的面積;
(3)點P是直線BC上方的拋物線上一動點,過點P作PQ垂直于x軸,垂足為Q.是否存在點P,使得以點A、P、Q為頂點的三角形與△BOC相似?若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】為了選拔中考命題教師,某省的領(lǐng)導(dǎo)對全省數(shù)學(xué)教師進(jìn)行抽樣調(diào)查,要求每位數(shù)學(xué)教師從命制“拋物線綜合題”“圓的難題”“解決實際問題”“簡單題”“客觀題”中自主選擇一個類型,并將結(jié)果繪制成如下的統(tǒng)計圖表:(100%回卷率,均為有效問卷)
題型 | 拋物線 綜合題 | 圓的 難題 | 解決實 際問題 | 簡單 題 | 客觀 題 |
人數(shù) | 2 | 3 | 4 | a | b |
請根據(jù)統(tǒng)計圖表的信息回答下列問題
(1)填空:a=________;b=_________;并補全扇形統(tǒng)計圖.
(2)若全省有2000名數(shù)學(xué)教師,試估計可以選中命制“解決實際問題”的老師有多少位?
(3)為選拔出今年數(shù)學(xué)中考解決實際問題的題目,現(xiàn)在領(lǐng)導(dǎo)要讓擅長命制解決實際問題的4位老師:甲、乙、丙、丁分別命題,從其中選中2道題作為中考A卷和B卷上的題目.用列表法或者列樹狀圖的辦法求甲老師和丙老師命制的題目同時被選中的概率.
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