Question

如圖，等腰直角△AOB與等腰直角△COD有公共頂點(diǎn)O，點(diǎn)C、O、B不在同一條直線上，求證：
（1）AC=BD；
（2）AC⊥BD．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：（1）由三角形AOB與三角形COD為等腰直角三角形，得到一對(duì)角相等，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形AOC與三角形BOD全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
（2）由（1）全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠ACO=∠BDO，設(shè)AC與OD交于點(diǎn)F，利用等角的余角相等得到∠DEF=90°，即可得證．

解答：證明：（1）∵△AOB與△COD為等腰直角三角形，
∴∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，

AO=BO ∠AOC=∠BOD OC=OD

，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD；
（2）∵△AOC≌△BOD，
∴∠ACO=∠BDO，
令A(yù)C交DO于F點(diǎn)，
又∵∠COD=90°，
∴∠ACO+∠CFO=90°，
又∵∠CFO=∠DFE，
∴∠BDO+∠DFE=90°，即∠DEF=90°，
則AC⊥BD．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．