Question

如圖，△ABC中，NM是BC邊的垂直平分線，垂足為G．
（1）作∠CAB的平分線AP；（要求：用尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）設(shè)AP，MN交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，求證：BE=CF．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),作圖—基本作圖

專題：

分析：（1）根據(jù)角平分線的作法作出AP即可；
（2）連接BD、CD，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=DF，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得BD=CD，然后利用“HL”證明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可．

解答：（1）解：如圖所示，AP即為所求；

（2）證明：連接BD、CD，
∵AP是∠BAC的平分線，
∴DE=DF，
∵NM是BC邊的垂直平分線，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，

BD=CD DE=DF

，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE=CF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，角平分線的作法，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．