【題目】我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為中垂三角形”. 如圖1,圖2,圖3中,的中線,,垂足為點,像這樣的三角形均為中垂三角形. 設(shè).

1)如圖1,當(dāng)時,則_________,__________;

2)如圖2,當(dāng)時,則___________________;

歸納證明

3)請觀察(1)(2)中的計算結(jié)果,猜想三者之間的關(guān)系,用等式表示出來,并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式;

拓展應(yīng)用

4)如圖4,在中,分別是的中點,且. ,,求的長.

【答案】1 ;(2,;(3,證明見解析;(4

【解析】

1)根據(jù)三角形的中位線得出;,進(jìn)而得到計算即可得出答案;

2)連接EF,中位線的性質(zhì)以及求出APBP、EPFP的長度再根據(jù)勾股定理求出AEBF的長度即可得出答案;

3)連接EF,根據(jù)中位線的性質(zhì)得出,根據(jù)勾股定理求出AEAPEP的關(guān)系以及BFBPFP的關(guān)系,即可得出答案;

4)取的中點,連接,結(jié)合題目求出四邊形是平行四邊形得出APFP即可得到中垂三角形,根據(jù)第三問得出的結(jié)論代入,即可得出答案(連接,交于點,證明求得的中線,進(jìn)而得出中垂三角形,再結(jié)合第三問得出的結(jié)論計算即可得出答案).

解:(1)∵的中線,∴的中位線,

,且,易得.

,

,∴.

由勾股定理,得,

.

2)如圖2,連結(jié).

的中線,

的中位線,

,且,易得.

. ,

.

由勾股定理,得,

.

3之間的關(guān)系是.

證明如下:如圖3,連結(jié).

的中線,

的中位線.

,且,

易得.

中,

,,

.

.

,

.

4)解法1:設(shè)的交點為. 如圖4,取的中點,連接.

分別是的中點,的中點,

.

又∵,

.

∵四邊形是平行四邊形,

,

,

∴四邊形是平行四邊形,

,

中垂三角形,

,即

解得.

(另:連接,交于點,易得中垂三角形,解法類似于解法1,如圖5

解法2:如圖6,連接,延長的延長線于點.

中,∵分別是的中點,

.

,

.

又∵四邊形為平行四邊形,

,

易得,

,

的中線,

中垂三角形,

.

.

,

解得.

的中位線,

.

練習(xí)冊系列答案
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1)求⊙P的半徑;

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1)這次活動共調(diào)查了多少人;

2)將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整;

3)在一次購物中,小明和小亮都想從微信、支付寶、銀行卡三種支付方式中選一種方式進(jìn)行支付,請用畫樹狀圖或列表格的方法,求出兩人恰好選擇同一種支付方式的概率.

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1)在旋轉(zhuǎn)過程中

①當(dāng)、、三點在同一直線上時,求的長,

②當(dāng)、、三點為同一直角三角形的頂點時,求的長.

2)若擺動臂順時針旋轉(zhuǎn),點的位置由外的點轉(zhuǎn)到其內(nèi)的點處,如圖2,此時,,求的長.

3)若連接(2)中的,將(2)中的形狀和大小保持不變,把繞點在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),分別取、的中點、、,連接、、隨著繞點在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn), 的面積是否發(fā)生變化,若不變,請直接寫出的面積;若變化,的面積是否存在最大與最小?若存在,請直接寫出面積的最大值與最小值,(溫馨提示

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