Question

如圖，對稱軸為直線x=3得拋物線經(jīng)過A（0，3）、B（2，0）兩點，此拋物線與x軸的另一個交點為C．
（1）求點C的坐標及拋物線的解析式；
（2）將△AOB以每秒一個單位的速度沿x軸正半軸向右平移，平移時間為t秒，平移后的△A′O′B′與△ABC重疊部分的面積為S，O′與C重合時停止平移，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）點p在拋物線的對稱軸上，點Q在拋物線上，是否存在P、Q，使以A、C、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）待定系數(shù)法即可求得；
（2）根據(jù)三角形的面積公式求得△CFO′、△CEB′、△BDO′的面積，分兩種情況討論列出等式，即可得出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖，有三種情況分別可以求得．

解答：解（1）∵對稱軸為直線x=3的拋物線經(jīng)過B（2，0），
∴拋物線與x軸的另一交點C的坐標為（4，0）；
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-3）²+k，
∵拋物線經(jīng)過A（0，3），B（2，0）兩點，
∴

9a+k=3 a+k=0

，
解得

a= 3 8 k=- 3 8

，
∴y=

3

8

 （x-3）²-

3

8

=

3

8

x²-

9

4

x+3；


（2）如圖，S_△CFO′=

1

2

（4-t）×

3

4

（4-t）=

3

8

（t-4）²，S_△BDO′=

1

2

（2-t）×

3

2

（2-t）=

3

4

（t-2）²，
∵EB′∥AB，∴△E′BC∽△ABC，∴

S△EB′C

S△ABC

=（

2-t

2

）²，
∴S_△CEB′=

1

2

×2×3×(

2-t

2

)2=

3

4

（t-2）²，
當0≤t＜2時，S=S_△CFO′-S_△BDO′-S_△CEB′=-

9

8

t²+3t，
當2≤t≤4時，S=S_△CFO′=

3

8

（t-4）²=

3

8

t²-3t+6，

（3）存在；
P（3，

21

8

），P（3，

69

8

），P（3，

15

8

）；

第一種平行四邊形APQC，
解：如圖，∵P的橫坐標為3，C（4，0），
∴Q的橫坐標為7，
代入拋物線y=

3

8

 （x-3）²-

3

8

得：y=

45

8

，
∵A（0，3），
∴P的縱坐標為3+

45

8

=

69

8

；
∴P（3，

69

8

）．


第二種平行四邊形AQPC；
∵P的橫坐標為3，C（4，0），
∴Q的橫坐標為-1，
代入拋物線y=

3

8

 （x-3）²-

3

8

=

3

8

x²-

9

4

x+3得：y=

45

8

，
∵A（0，3），
∴P的縱坐標為

45

8

-3=

21

8

，
∴P（3，

21

8

）；


第三種平行四邊形AQCP；
∵P的橫坐標為3，C（4，0），
∴Q的橫坐標為1，
代入y=

3

8

 （x-3）²-

3

8

=

3

8

x²-

9

4

x+3得：y=

9

8

，
∵A（0，3），
∴P的縱坐標為3-

9

8

=

15

8

，
∴P（3，

15

8

）．

點評：本題考查了根據(jù)題目的實際設(shè)出合適的解析式應(yīng)用待定系數(shù)法求解析式，運動中幾何圖象的函數(shù)關(guān)系等，本題的關(guān)鍵是借助圖形能夠看出圖形的變化后的情況．