Question

如圖，拋物線 y=x²-x 與x軸交于O、A兩點(diǎn)． 半徑為1的動圓⊙P，圓心從O點(diǎn)出發(fā)沿拋物線向靠近點(diǎn)A的方向移動； 半徑為2的動圓⊙Q，圓心從A點(diǎn)出發(fā)沿拋物線向靠近點(diǎn)O的方向移動．兩圓同時出發(fā)，且移動速度相等，當(dāng)運(yùn)動到P、Q兩點(diǎn)重合時同時停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．若⊙P與⊙Q相離，則t的取值范圍是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：連接OP、PQ、AQ．先根據(jù)拋物線的對稱性，得出y=x²-x與x軸的兩個交點(diǎn)O與A關(guān)于拋物線的對稱軸x=

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對稱，再證明四邊形OPQA是等腰梯形，作等腰梯形OPQA的高PM、QN，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得出OM=AN=t．然后解方程x²-x=0，求出OA=1，進(jìn)而得出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是1-t；⊙P與⊙Q相離，包含兩種情況：①⊙P與⊙Q外離，根據(jù)兩圓外離時，圓心距＞兩圓半徑之和求解；②⊙P與⊙Q內(nèi)含，根據(jù)兩圓內(nèi)含時，圓心距＜兩圓半徑之差的絕對值求解．

解答：解：連接OP、PQ、AQ．
∵拋物線y=x²-x與x軸交于O，A兩點(diǎn)，
∴O與A關(guān)于拋物線的對稱軸x=

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對稱，
又∵動圓（⊙P）的圓心從O點(diǎn)出發(fā)沿拋物線向靠近點(diǎn)A的方向移動；動圓（⊙Q）的圓心從A點(diǎn)出發(fā)沿拋物線向靠近點(diǎn)O的方向移動，兩圓同時出發(fā)，且移動速度相等，
∴OP=AQ，P與Q也關(guān)于直線x=

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2

對稱，
∴四邊形OPQA是等腰梯形．
作等腰梯形OPQA的高PM、QN，則OM=AN=t．
解方程x²-x=0，得x₁=0，x₂=1，
∴A（1，0），OA=1，
∴ON=OA-AN=1-t，
∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是1-t；
若⊙P與⊙Q相離，分兩種情況：
①⊙P與⊙Q外離，則PQ＞2+1，即PQ＞3．
∵OM=AN=t，OA=1，
∴PQ=MN=OA-OM-AN=1-2t，
∴1-2t＞3，
解得t＜1，
又∵t≥0，
∴0≤t＜1；
②⊙P與⊙Q內(nèi)含，則PQ＜2-1，即PQ＜1．
由①知PQ=1-2t，
∴1-2t＜1，
解得t＞0，
又∵兩圓分別從O、A兩點(diǎn)同時出發(fā)，且移動速度相等，當(dāng)運(yùn)動到P，Q兩點(diǎn)重合時同時停止運(yùn)動，OA=1，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，
∴2t≤1，解得t≤

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∴0＜t≤

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2

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故答案為：0＜t≤

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2

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點(diǎn)評：本題借助于動點(diǎn)主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)，圓與圓的位置關(guān)系，題型比較新穎，難度適中．進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．