Question

【題目】
【合作學(xué)習(xí)】

如圖，矩形ABOD的兩邊OB，OD都在坐標(biāo)軸的正半軸上，OD=3，另兩邊與反比例函數(shù)y= （k≠0）的圖象分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且DE=2．過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥EH于點(diǎn)G．回答下面的問(wèn)題：
①該反比例函數(shù)的解析式是什么？
②當(dāng)四邊形AEGF為正方形時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少？
（1）閱讀合作學(xué)習(xí)內(nèi)容，請(qǐng)解答其中的問(wèn)題；
（2）小亮進(jìn)一步研究四邊形AEGF的特征后提出問(wèn)題：“當(dāng)AE＞EG時(shí)，矩形AEGF與矩形DOHE能否全等？能否相似？”
針對(duì)小亮提出的問(wèn)題，請(qǐng)你判斷這兩個(gè)矩形能否全等？直接寫(xiě)出結(jié)論即可；這兩個(gè)矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，試說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①∵四邊形ABOD為矩形，EH⊥x軸，

而OD=3，DE=2，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），

∴k=2×3=6，

∴反比例函數(shù)解析式為y= （x＞0）；

②設(shè)正方形AEGF的邊長(zhǎng)為a，則AE=AF=a，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（2+a，0）），A點(diǎn)坐標(biāo)為（2+a，3），

∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（2+a，3﹣a），

把F（2+a，3﹣a）代入y= 得（2+a）（3﹣a）=6，解得a1=1，a2=0（舍去），

∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）

（2）

解：①當(dāng)AE＞EG時(shí)，矩形AEGF與矩形DOHE不能全等．理由如下：

假設(shè)矩形AEGF與矩形DOHE全等，則AE=OD=3，AF=DE=2，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（5，3），

∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（5，1），

而5×1=5≠6，

∴F點(diǎn)不在反比例函數(shù)y= 的圖象上，

∴矩形AEGF與矩形DOHE不能全等；

②當(dāng)AE＞EG時(shí)，矩形AEGF與矩形DOHE能相似．

∵矩形AEGF與矩形DOHE能相似，

∴AE：OD=AF：DE，

∴ = ，

設(shè)AE=3t，則AF=2t，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（2+3t，3），

∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（2+3t，3﹣2t），

把F（2+3t，3﹣2t）代入y= 得（2+3t）（3﹣2t）=6，解得t1=0（舍去），t2= ，

∴AE=3t= ，

∴相似比= = = ．

【解析】（1）①先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到D（2，3），然后利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征計(jì)算出k=6，則得到反比例函數(shù)解析式為y= ；
②設(shè)正方形AEGF的邊長(zhǎng)為a，則AE=AF=a，根據(jù)坐標(biāo)與圖形的關(guān)系得到B（2+a，0）），A（2+a，3），所以F點(diǎn)坐標(biāo)為（2+a，3﹣a），于是利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得（2+a）（3﹣a）=6，然后解一元二次方程可確定a的值，從而得到F點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)AE＞EG時(shí)，假設(shè)矩形AEGF與矩形DOHE全等，則AE=OD=3，AF=DE=2，則得到F點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3），根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可判斷點(diǎn)F（3，3）不在反比例函數(shù)y= 的圖象上，由此得到矩形AEGF與矩形DOHE不能全等；當(dāng)AE＞EG時(shí)，若矩形AEGF與矩形DOHE相似，根據(jù)相似的性質(zhì)得AE：OD=AF：DE，即 = ，設(shè)AE=3t，則AF=2t，得到F點(diǎn)坐標(biāo)為（2+3t，3﹣2t），利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得（2+3t）（3﹣2t）=6，解得t1=0（舍去），t2= ，則AE=3t= ，于是得到相似比= = ．