Question

如圖，拋物線y=a（x-m）²+2m-2（其中m＞1）與其對(duì)稱軸l相交于點(diǎn)P，與y軸相交于點(diǎn)A（0，m-1）．連接并延長PA、PO，與x軸、拋物線分別相交于點(diǎn)B、C，連接BC．點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為C′，連接PC′，即有PC′=PC．將△PBC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C與點(diǎn)C′重合，得到△PB′C′．
（1）該拋物線的解析式為

 

（用含m的式子表示）；
（2）求證：BC∥y軸；
（3）若點(diǎn)B′恰好落在線段BC′上，求此時(shí)m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,解分式方程,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,平行線的判定與性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,等腰三角形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：（1）只需將A點(diǎn)坐標(biāo)（0，m-1）代入y=a（x-m）²+2m-2，即可求出a值，從而得到拋物線的解析式．
（2）由點(diǎn)A、P的坐標(biāo)可求出直線AP的解析式，從而求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-m；由點(diǎn)P的坐標(biāo)可求出直線OP的解析式，從而求出直線OP與拋物線的交點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-m．由于點(diǎn)B、C的橫坐標(biāo)相同，故BC∥y軸．
（3）利用三角形的內(nèi)角和定理、圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，結(jié)合條件可以證到∠POD=∠BAO，從而可以證到△BAO∽△POD，進(jìn)而得到

BO

PD

=

AO

OD

，由BO=m，PD=2m-2，AO=m-1，OD=m，可得：

m

2m-2

=

m-1

m

，通過解方程就可解決問題．

解答：（1）解：∵A（0，m-1）在拋物線y=a（x-m）²+2m-2上，
∴a（0-m）²+2m-2=m-1．
∴a=

1-m

m2

．
∴拋物線的解析式為y=

1-m

m2

（x-m）²+2m-2．

（2）證明：如圖1，
設(shè)直線PA的解析式為y=kx+b，
∵點(diǎn)P（m，2m-2），點(diǎn)A（0，m-1）．
∴

mk+b=2m-2 0+b=m-1

．
解得：

k= m-1 m b=m-1

．
∴直線PA的解析式是y=

m-1

m

x+m-1．
當(dāng)y=0時(shí)，

m-1

m

x+m-1=0．
∵m＞1，
∴x=-m．
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是-m．
設(shè)直線OP的解析式為y=k′x，
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，2m-2），
∴k′m=2m-2．
∴k′=

2m-2

m

．
∴直線OP的解析式是y=

2m-2

m

x．
聯(lián)立

y= 2m-2 m x y= 1-m m2 (x-m)2+2m-2

解得：

x=m y=2m-2

或

x=-m y=2-2m

．
∵點(diǎn)C在第三象限，且m＞1，
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是-m．
∴BC∥y軸．

（3）解：若點(diǎn)B′恰好落在線段BC′上，
設(shè)對(duì)稱軸l與x軸的交點(diǎn)為D，連接CC′，如圖2，
則有∠PB′C′+∠PB′B=180°．
∵△PB′C′是由△PBC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得，
∴∠PBC=∠PB′C′，PB=PB′，∠BPB′=∠CPC′．
∴∠PBC+∠PB'B=180°．
∵BC∥AO，
∴∠ABC+∠BAO=180°．
∴∠PB′B=∠BAO．
∵PB=PB′，PC=PC′，
∴∠PB′B=∠PBB′=

180°-∠BPB′

2

，
∴∠PCC′=∠PC′C=

180°-∠CPC′

2

．
∴∠PB′B=∠PCC′．
∴∠BAO=∠PCC′．
∵點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為C′，
∴CC′⊥l．
∵OD⊥l，
∴OD∥CC′．
∴∠POD=∠PCC′．
∴∠POD=∠BAO．
∵∠AOB=∠ODP=90°，∠POD=∠BAO，
∴△BAO∽△POD．
∴

BO

PD

=

AO

OD

．
∵BO=m，PD=2m-2，AO=m-1，OD=m，
∴

m

2m-2

=

m-1

m

．
解得：
∴m₁=2+

2

，m₂=2-

2

．
經(jīng)檢驗(yàn)：m₁=2+

2

，m₂=2-

2

都是分式方程的解．
∵m＞1，
∴m=2+

2

．
∴若點(diǎn)B′恰好落在線段BC′上，此時(shí)m的值為2+

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式、相似三角形判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、解分式方程、三角形的內(nèi)角和定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、拋物線與直線的交點(diǎn)等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．而證明∠POD=∠BAO，進(jìn)而證到△BAO∽△POD是解決第3小題的關(guān)鍵．