Question

某汽車制造廠投資200萬元，成功地研制出一種市場需求量較大的汽配零件，并投入資金700萬元進行批量生產．已知每個零件成本為20元．通過市場銷售調查發(fā)現：當銷售單價定為50元時，年銷售量為20萬件；銷售單價每增加1元，年銷售量將減少1 000件．設銷售單價為x（x＜140）元，年銷售量為y （萬件），年獲利為z （萬元）．
（1）試寫出y與x之間的函數關系式；
（2）當年獲利為120萬元時，銷售單價為多少元？
（3）當銷售單價定為多少時，年獲利最多？并求出年利潤．

Answer 1

考點：二次函數的應用,一元二次方程的應用

專題：

分析：（1）由于當銷售單價定為50元時，年銷售量為20萬件，而銷售單價每增加1元，年銷售量就減少1000件，由此確定y與x的函數關系式；
（2）設當年獲利120萬元時，銷售單價為x元，根據售價-成本-投資=利潤120萬元，列出方程，解方程即可；
（3）先根據利潤=售價-成本-投資，得出z與x的函數解析式，再運用二次函數的性質即可求出最大值．

解答：解：（1）依題意知，當銷售單價為x元時，年銷售量將減少

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（x-50）萬件（1000件=

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萬件），
因此y=20-

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（x-50）=-

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x+25，
即y=-

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x+25（50≤x＜140）；

（2）設當年獲利120萬元時，銷售單價為x元．
由題意，得（x-20）y-200-700=120，
即（x-20）（-

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x+25）-200-700=120，
整理，得x²-270x+15200=0，
解得x₁=80，x₂=190（不合題意，舍去）．
當年獲利為120萬元時，銷售單價為80元；

（3）由題意，當銷售單價定為x元時，年獲利z=（x-20）y-200-700
=（x-20）（-

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x+25）-200-700
=-

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x²+27x-1400
=-

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（x-135）²+422.5，
所以當x=135時，z取得最大值422.5．
故當銷售單價定為135元時，年獲利最多，此時年利潤為422.5萬元．

點評：本題考查的是二次函數在實際生活中的應用，解題時首先正確理解題意，然后利用已知條件列出方程或二次函數，然后解方程或利用二次函數的性質即可解決問題．